Advertisements
Advertisements
प्रश्न
वक्र `sqrt(x) + sqrt(y) = 4` उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जिस पर स्पर्श रेखा का अक्षों से झुकाव समान है।
Advertisements
उत्तर
वक्र का समीकरण `sqrt(x) + sqrt(y)` = 4 द्वारा दिया जाता है
माना (x1, y1) वक्र पर वांछित बिंदु है
∴ `sqrt(x)_1 + sqrt(y)_1` = 4
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x1, हमें मिलता है
`"d"/("dx"_1) sqrt(x_1) + "d"/("dx"_1) sqrt(y_1) = "d"/("dx"_1) (4)`
⇒ `1/(2sqrt(x_1)) + 1/(2sqrt(y_1)) * ("d"y_1)/("dx"_1)` = 0
⇒ `1/sqrt(x_1) + 1/sqrt(y_1) * ("dy"_1)/("dx"_1)` = 0
⇒ `("dy"_1)/("d"x_1) = - sqrt(y_1)/sqrt(x_1)` .....(i)
क्योंकि (x1, y1) पर दिए गए वक्र की स्पर्श रेखा समान रूप से झुकी होती है।
∴ स्पर्श रेखा का ढाल `("dy"_1)/("dx"_1) = +- tan pi/4` = ±1
अतः समीकरण (i) से हमें प्राप्त होता है
`- sqrt(y_1)/sqrt(x_1)` = ±1
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं
`(y_1)/(x_1)` = 1
⇒ y1 = x1
दिए गए वक्र के समीकरण में y1 का मान रखने पर।
`sqrt(x_1) + sqrt(y_1)` = 4
⇒ `sqrt(x_1) + sqrt(x_1)` = 4
⇒ `2sqrt(x_1)` = 4
⇒ `sqrt(x_1)` = 2
⇒ x1 = 4
तब से y1 = x1
∴ y1 = 4
अतः अभीष्ट बिंदु (4, 4) है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
`pi/4` अर्ध शीर्ष कोण वाले एक शांकवीय कीप (funnel) से, जिसकां शीर्ष नीचे की ओर है, कीप के पृष्ठ के क्षेत्रफल में 2cm2/sec की समान दर से उसके शीर्ष के एक छिद्र से पानी बह रहा है। पानी के सतह की तिर्यक ऊँचाई के घटने की दर उस समय ज्ञात कीजिए जब उसकी तिर्यंक ऊँचाई 4cm है।
निर्धारित कीजिए कि x के किन मानों के लिए, फलन y = `x^4 – (4x^3)/3` वर्धमान है तथा किन मानों के लिए, यह हासमान है।
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 4x3 – 18x2 + 27x – 7 का कोई उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ नहीं है।
वक्र y2 = 4ax तथा x2 = 4by का प्रतिच्छेद कोण ज्ञात कीजिए।
उस महत्तम आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो दीर्घवृत्त `x^2/a^2 + y^2/b^2` = 1 के अंतर्गत स्थित है।
a के वे मान जिनके लिए y = x2 + ax + 25 x-अक्ष को स्पर्श करता है, ______ है।
मान लीजिए कि c पर f का द्वितीय अवकलज है, इस प्रकार कि f ′(c) = 0 तथा f ″(c) > 0, तो c पर फलन ______ है।
एक पतंग 151.5 cm की ऊंचाई पर क्षैतिज दिशा में गतिमान है। यदि पतंग की चाल 10 m/s है, तो डोरी को कितनी तेजी से छोड़ा जा रहा है, जब उसकी दूरी पतंग उड़ाने वाले लड़के से 250 cm है? लड़के की ऊंचाई 1.5 m है।
(1.999)5 का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
एक खोखले बेलनाकार खोल, जिसकी आंतरिक तथा बाह्य त्रिज्याएँ क्रमश: 3 cm तथा 3.0005 cm हैं, में धातु के आयतन का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
2m लंबा एक मनुष्य 1`2/3` m/s की दर से किसी बिजली के खंभे की ओर, जो जमीन से 5`1/3`m ऊपर है, चल रहा है। उसकी छाया का अग्रभाग किसी दर से गतिमान है? उसकी छाया की लंबाई, उस समय किस दर से परिवर्तित हो रही है, जब वह प्रकाश के स्रोत के आधार से 3`1/3`m दूर है?
किसी तरनताल को सफाई के लिए खाली करना है।यदि ताल को बंद करने के t seconds बाद ताल में पानी की मात्रा, लिटर में, L से निरूपित होती है तथा L = 200 (10 – t)2 तो 5 seconds में अंत में पानी कितनी तेजी से बाहर निकल रहा है? प्रथम 5 seconds में पानी के बाहर निकलने की औसत दर क्या है?
x तथा y दो वर्गों की भुजाएँ हैं, इस प्रकार कि y = x – x2 दूसरे वर्ग के क्षेत्रफल में परिवर्तनकी दर पहले वर्ग के क्षेत्रफल के सापेक्ष ज्ञात कीजिए।
वक्र y = 4 – x2 तथा y = x2 का प्रतिच्छेद-कोण ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि वक्र y2 = 4x तथा x2 + y2 – 6x + 1 = 0 एक दूसरे को बिंदु (1, 2) पर स्पर्श करते हैं।
सिद्ध कीजिए कि रेखा `x/"a" +y/"b"` = 1 , वक्र y = b . e-x/a को उस बिंदु पर स्पर्श करती है जिस पर वक्र y-अक्ष को काटता है।
सिद्ध कीजिए कि f (x) = 2x + cot–1x + log `(sqrt(1+x^2) - x)`, R में वर्धमान फलन है।
किस बिंदु पर, वक्र y = – x3 + 3x2 + 9x – 27 की प्रवणता उच्चतम है? उच्चतम प्रवणता भी ज्ञात कीजिए।
यदि किसी समकोण त्रिभुज की एक भुजा तथा कर्ण की लंबाईयों का योगफल दिया हुआ है, तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज का क्षेत्रफल उच्चतम है, जब उनके मध्य का कोण `pi/3` है।
किसी नगर में एक टेलीफोन कंपनी की सूची में 500 ग्राहक हैं और वह प्रत्येक ग्राहक से प्रतिवर्ष 300 रु निश्चित शुल्क वसूलती हैं। कंपनी वार्षिक शुल्क बढ़ाना चाहती है, और ऐसा माना जाता है कि प्रत्येक 1 रु की वृद्धि करने पर एक ग्राहक टेलीफोन सेवा लेना समाप्त कर देगा।ज्ञात कीजिए कि कितनी वृद्धि करने से महत्तम (उच्चतम) लाभ होगा।
यदि सरल रेखा x cosα + y sinα = p वक्र `x^2/"a"^2 + y^2/"b"^2` = 1 को स्पर्श करती है, तो सिद्ध कीजिए कि a2 cos2α + b2 sin2α = p2
एक क्षैतिज फर्श पर 5 मीटर लंबी एक सीढ़ी किसी ऊर्ध्वाधर दीवार पर झुकी है।यदि सीढ़ी का ऊपरी सिरा 10 cm/sec, की दर से नीचे की ओर फिसल रहा है तो सीढ़ी तथा फर्श के बीच का कोण, उस समय जब सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से 2 मीटर दूर है:
फलन f(x) = 4 sin3x – 6 sin2x + 12 sinx + 100 ______
फलन f(x) = tanx – x ______
यदि x एक वास्तविक संख्या है, तो x2 – 8x + 17 का निम्नतम मान ______
फलन f (x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 4 के ______
वक् y = 4x2 + 2x – 8 तथा, y = x3 – x + 13 एक दूसरे को बिंदु ______ पर स्पर्श करते हैं।
वक्र y = tanx के (0, 0) पर अभिलंब का समीकरण ______ है।
