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प्रश्न
वक् y = 4x2 + 2x – 8 तथा, y = x3 – x + 13 एक दूसरे को बिंदु ______ पर स्पर्श करते हैं।
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उत्तर
वक् y = 4x2 + 2x – 8 तथा, y = x3 – x + 13 एक दूसरे को बिंदु `underline((- 1/3, (-74)/9))` पर स्पर्श करते हैं।
व्याख्या:
हमारे पास y = 4x2 + 2x – 8 .....(i)
और y = x3 – x + 13 .....(ii)
विभेदक समीकरण (i) w.r.t. x, हमारे पास है
`"dy"/'dx"` = 8x + 2
⇒ m1 = 8x + 2 .....[m वक्र का ढलान है (i)]
विभेदक समीकरण (ii) w.r.t. x, हमें मिलता है
`"dy"/"dx"` = 3x2 – 1
⇒ m2 = 3x2 – 1 ......[m2 वक्र का ढलान है (ii)]
यदि दोनों वक्र एक दूसरे को स्पर्श करते हैं, तो m1 = m2
∴ 8x + 2 = 3x2 – 1
⇒ 3x2 – 8x – 3 = 0
⇒ 3x2 – 9x + x – 3 = 0
⇒ 3x(x – 3) + 1(x – 3) = 0
⇒ (x – 3)(3x + 1) = 0
∴ x = 3, `(-1)/3`
समीकरण (i) में x = 3 रखने पर हमें प्राप्त होता है,
y = 4(3)2 + 2(3) – 8
= 36 + 6 – 8
= 34
अतः अभीष्ट बिंदु (3, 34) है,
अब x = `- 1/3` के लिए
y = `4((-1)/3)^2 + 2((-1)/3) - 8`
= `4 xx 1/9 - 2/3 - 8`
= `4/9 - 2/3 - 8`
= `(4 - 6 - 72)/9`
= `(-74)/9`
∴ अन्य आवश्यक बिंदु `(- 1/3, (-74)/9)` है।
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