Advertisements
Advertisements
प्रश्न
भुजा x, 2x और `x/3` किसी आयताकार समांतर षट्फलक तथा एक गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का योगफल अचर दिया हुआ है। सिद्ध कीजिए कि उनके आयतन का योगफल निम्नतम होगा, यदि x गोले की त्रिज्या के तीन गुने के बराबर है। उनके आयतन के योगफल का निम्नतम मान भी ज्ञात कीजिए।
Advertisements
उत्तर
यह दिया गया है कि, एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के सतह क्षेत्रों का योग x, 2x और `x/3` और एक क्षेत्र स्थिर है।
मान लीजिए S दोनों पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग है।
∴ S = 2`(x * 2x + 2x * x/3 +x/3 * x) + 4pi"r"^2` = k
⇒ `4pi"r"^2 = "k" - 6x^2`
⇒ r2 = `("k" - 6x^2)/(4pi)`
⇒ r = `sqrt(("k" - 6x^2)/(4pi)` .....(i)
मान लीजिए V समानांतर चतुर्भुज और गोले दोनों के आयतन के योग को दर्शाता है।
फिर, V = `2x * x * x/3 + 4/3 pi"r"^3`
= `2/3 x^3 + 4/3 pi"r"^3`
= `2/3 x^3 + 4/3pi(("kk" - 6x^2)/(4pi))^(3/2)`
= `2/3 x^3 + 4/3 pi (("k" - 6x^2)/(4pi))^(3/2)`
⇒ V = `2/3 x^3 + 1/(6sqrt(pi)) ("k" - 6x^2)^(3/2)` ....(ii)
विभेदक w.r.t. x,
`"dV"/"dx" = 2/3 * 3x^2 + 1/(6sqrt(pi)) * 3/2 * ("k" - 6x^2)^(1/2)(-12x)`
= `2x^2 - (3x)/sqrt(pi) ("k" - 6x^2)^(1/2)` ....(iii)
मान लीजिए `"dV"/"dx"` = 0
⇒ `2x^2 = (3x)/sqrt(pi) ("k" - 6x^2)^(1/2)`
⇒ `4x^4 = (9x^2)/pi ("k" - 6x^2)`
⇒ `4pix^4 = 9"k"x^2 - 54x^4`
⇒ `x^2 = (9"k")/(4pi + 54)`
⇒ x = `3sqrt("k"/(4pi + 54))` .....(iv)
स्पष्ट रूप से यह बिंदु न्यूनतम है।
जब x = `3sqrt("k"/(4pi + 54))`
`"r"^2 = ("k" - 6) ((9"k")/(4pi + 54))/(4pi)`
= `("k"(4pi + 54) - 54"k")/(4pi(4pi + 54))`
= `(4"k"pi)/(4pi(4pi + 54))`
= `"k"/(4pi + 54)`
⇒ r = `sqrt("k"/(4pi + 54))`
⇒ x = 3r
साथ ही V = `2/3x^3 + 4/3 pi"r"^3`
= `2/3(3"r")^3 + 4/3 pi"r"^3`
= `18"r"^3 + 4/3 pi"r"^3`
= `(18 + 4/3 pi)"r"^3`
= `((54 + 4pi)/3)("k"/(4pi + 54))^(3/2)`
= `"k"^(3/2)/(3(4pi + 54)^(3/2)`
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
`pi/4` अर्ध शीर्ष कोण वाले एक शांकवीय कीप (funnel) से, जिसकां शीर्ष नीचे की ओर है, कीप के पृष्ठ के क्षेत्रफल में 2cm2/sec की समान दर से उसके शीर्ष के एक छिद्र से पानी बह रहा है। पानी के सतह की तिर्यक ऊँचाई के घटने की दर उस समय ज्ञात कीजिए जब उसकी तिर्यंक ऊँचाई 4cm है।
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = tanx – 4x अंतराल `((-pi)/3, pi/3)` निरंतर हासमान है।
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 4x3 – 18x2 + 27x – 7 का कोई उच्चिष्ठ अथवा निम्निष्ठ नहीं है।
फलन f(x) = `- 3/4 x^4 - 8x^3 - 45/2 x^2 + 105` के सभी स्थानीय उच्चिष्ठ तथा स्थानीय निम्निष्ठ बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।
अंतराल `[-pi/2, pi/2]` में फलन f (x) = sin2x – x, के उच्चतम तथा निम्नितम मानों का अंतर ज्ञात कीजिए।
वक्र y2 = x पर वह बिंदु जहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष से `pi/4` कोण बनाती है।
यदि f (x) = sinx तो अंतराल `[(-pi)/2, pi/2]` में f का निम्निष्ठ मान ______ है।
किसी गोले के आयतन के परिवर्तन की दर उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल के सापेक्ष, जब उसकी त्रिज्या 2cm है, ______ है।
नमक का एक गोलाकार गेंद पानी में इस प्रकार घुल रहा है कि किसी क्षण उसके आयतन के घटने की दर उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती है। सिद्ध कीजिए कि उसकी त्रिज्या एक अचर दर से घट रही है।
किसी तरनताल को सफाई के लिए खाली करना है।यदि ताल को बंद करने के t seconds बाद ताल में पानी की मात्रा, लिटर में, L से निरूपित होती है तथा L = 200 (10 – t)2 तो 5 seconds में अंत में पानी कितनी तेजी से बाहर निकल रहा है? प्रथम 5 seconds में पानी के बाहर निकलने की औसत दर क्या है?
वक्र `sqrt(x) + sqrt(y) = 4` उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जिस पर स्पर्श रेखा का अक्षों से झुकाव समान है।
सिद्ध कीजिए कि वक्र y2 = 4x तथा x2 + y2 – 6x + 1 = 0 एक दूसरे को बिंदु (1, 2) पर स्पर्श करते हैं।
सिद्ध किजिए कि f (x) = tan–1(sinx + cosx), अतंराल 0,`pi/4` में एक वर्धमान फलन है।
किस बिंदु पर, वक्र y = – x3 + 3x2 + 9x – 27 की प्रवणता उच्चतम है? उच्चतम प्रवणता भी ज्ञात कीजिए।
यदि किसी समकोण त्रिभुज की एक भुजा तथा कर्ण की लंबाईयों का योगफल दिया हुआ है, तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज का क्षेत्रफल उच्चतम है, जब उनके मध्य का कोण `pi/3` है।
फलन f (x) = x5 – 5x4 + 5x3 – 1 के स्थानीय उच्चिष्ठ, स्थानीय निम्निष्ठ तथा नति परिवर्तन के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए। साथ ही संगत स्थानीय उच्चतम तथा स्थानीय निम्नतम मानों को भी ज्ञात कीजिए।
किसी नगर में एक टेलीफोन कंपनी की सूची में 500 ग्राहक हैं और वह प्रत्येक ग्राहक से प्रतिवर्ष 300 रु निश्चित शुल्क वसूलती हैं। कंपनी वार्षिक शुल्क बढ़ाना चाहती है, और ऐसा माना जाता है कि प्रत्येक 1 रु की वृद्धि करने पर एक ग्राहक टेलीफोन सेवा लेना समाप्त कर देगा।ज्ञात कीजिए कि कितनी वृद्धि करने से महत्तम (उच्चतम) लाभ होगा।
AB किसी वृत्त का एक व्यास है तथा C उसकी परिधि पर कोई बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि ∆ ABC का क्षेत्रफल महत्तम उस समय होगा जब वह समद्धिबाहु है।
बिंदु (0, 0) पर वक्र y = `x^(1/5)` की ______
यदि वक्र ay + x2 = 7 तथा x3 = y बिंदु (1, 1) पर लंबवत काटते हैं, तो a का मान है ______
वे बिंदु, जिन पर वक्र y = x3 – 12x + 18 की स्पर्श रेखाएँ x-अक्ष के समांतर हैं,
वक्र y = e2x की, बिंदु (0, 1) पर, स्पर्श रेखा x-अक्ष से बिंदु ______
वक्र x = t2 + 3t – 8, y = 2t2 – 2t – 5 की, बिंदु (2, -1) पर, स्पर्श रेखा की प्रवणता ______ है।
निम्नलिखित में से कौन-सा फलन 0, `pi/2` में हासमान है,
फलन f(x) = tanx – x ______
यदि x एक वास्तविक संख्या है, तो x2 – 8x + 17 का निम्नतम मान ______
f(x) = xx का स्तब्ध बिंदु है ______
फलन f(x) = `(2x^2 - 1)/x^4`, x > 0, अंतराल में ______ हासमान है।
