Question

वक्र 2x = y² तथा 2xy = k के लंबकोणीय प्रतिच्छेद के लिए प्रतिबंध ज्ञात कीजिए।

Answer 1

यदि दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण 90° है, तो दो वृत्त लंबवत रूप से प्रतिच्छेद करते हैं।

दो वृत्तों के समीकरण इस प्रकार दिए गए हैं

2x = y²    ......(i)

And 2xy = k   ......(ii)

विभेदक समीकरण (i) और (ii) w.r.t. x, हमें मिलता है

2.1 = `2y * "dy"/"dx"`

⇒ `"dy"/"dx" = 1/y`

⇒ m₁ = `1/y`   ......(m₁ = स्पर्शरेखा का ढलान)

⇒ 2xy = k

⇒ `2[x * "dy"/"dx" + y * 1]` = 0

∴ `"dy"/"dx" = - y/x`

⇒ m₂ = `- y/x` ......[m₂ = दूसरी स्पर्शरेखा का ढलान]

यदि दो स्पर्श रेखाएं एक दूसरे के लंबवत हैं,

तब m₁ × m₂ = – 1

⇒ `1/y xx (- y/x)` = – 1

⇒ `1/x` = 1

⇒ x = 1

अब 2x = y²  को हल करना ......[(i) से]

और 2xy = k   .....[(ii) से]

समीकरण (ii) से

y = `"k"/(2x)`

y का मान समीकरण (i) में रखने पर

2x = `("k"/(2x))^2`

⇒ 2x = `"k"^2/(4x^2)`

⇒ 8x³ = k²

⇒ 8(1)³ = k²

⇒ 8 = k²

अतः अभीष्ट स्थिति k² = 8 है।