Advertisements
Advertisements
प्रश्न
वक्र 2x = y2 तथा 2xy = k के लंबकोणीय प्रतिच्छेद के लिए प्रतिबंध ज्ञात कीजिए।
Advertisements
उत्तर
यदि दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण 90° है, तो दो वृत्त लंबवत रूप से प्रतिच्छेद करते हैं।
दो वृत्तों के समीकरण इस प्रकार दिए गए हैं
2x = y2 ......(i)
And 2xy = k ......(ii)
विभेदक समीकरण (i) और (ii) w.r.t. x, हमें मिलता है
2.1 = `2y * "dy"/"dx"`
⇒ `"dy"/"dx" = 1/y`
⇒ m1 = `1/y` ......(m1 = स्पर्शरेखा का ढलान)
⇒ 2xy = k
⇒ `2[x * "dy"/"dx" + y * 1]` = 0
∴ `"dy"/"dx" = - y/x`
⇒ m2 = `- y/x` ......[m2 = दूसरी स्पर्शरेखा का ढलान]
यदि दो स्पर्श रेखाएं एक दूसरे के लंबवत हैं,
तब m1 × m2 = – 1
⇒ `1/y xx (- y/x)` = – 1
⇒ `1/x` = 1
⇒ x = 1
अब 2x = y2 को हल करना ......[(i) से]
और 2xy = k .....[(ii) से]
समीकरण (ii) से
y = `"k"/(2x)`
y का मान समीकरण (i) में रखने पर
2x = `("k"/(2x))^2`
⇒ 2x = `"k"^2/(4x^2)`
⇒ 8x3 = k2
⇒ 8(1)3 = k2
⇒ 8 = k2
अतः अभीष्ट स्थिति k2 = 8 है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
वक्र y = 5x – 2x3 के लिए, यदि x में 2 इकाई/से. की दर से वृद्धि हो रही है, तो x = 3 पर वक्र का प्रावण्य कितनी तीव्रता से परिवर्तित हो रहा है?
वक्र y2 = x तथा x2 = y के बीच का प्रतिच्छेद - कोण ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = tanx – 4x अंतराल `((-pi)/3, pi/3)` निरंतर हासमान है।
निर्धारित कीजिए कि x के किन मानों के लिए, फलन y = `x^4 – (4x^3)/3` वर्धमान है तथा किन मानों के लिए, यह हासमान है।
शीर्ष कोण `2theta` वाला एक समद्धिबाहु त्रिभुज a त्रिज्या वाले किसी वृत्त के अंतर्गत स्थित है। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुजं का क्षेत्रफल उच्चतम है। जब `theta = pi/6`
वक्र `3"y" = 6"x" – 5"x"^3` पर स्थित उस बिंदु का भुज, जिस पर वक्र का अभिलंब मूल बिंदुसे होकर जाता है।
दो वक्र x3 – 3xy2 + 2 = 0 तथा 3x2 y – y3 = 2
समीकरण x = et . cost, y = et . sint द्वारा प्रदत्त वक्र की t = `pi/4` पर स्पर्श रेखा, x-अक्ष से कोण बनाती है।
यदि f (x) = sinx तो अंतराल `[(-pi)/2, pi/2]` में f का निम्निष्ठ मान ______ है।
नमक का एक गोलाकार गेंद पानी में इस प्रकार घुल रहा है कि किसी क्षण उसके आयतन के घटने की दर उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती है। सिद्ध कीजिए कि उसकी त्रिज्या एक अचर दर से घट रही है।
यदि किसी वृत्त का क्षेत्रफल एक समान दर से बढ़ता है, तो सिद्ध कीजिए कि उसका परिमाप (परिधि) उसकी त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है
2m लंबा एक मनुष्य 1`2/3` m/s की दर से किसी बिजली के खंभे की ओर, जो जमीन से 5`1/3`m ऊपर है, चल रहा है। उसकी छाया का अग्रभाग किसी दर से गतिमान है? उसकी छाया की लंबाई, उस समय किस दर से परिवर्तित हो रही है, जब वह प्रकाश के स्रोत के आधार से 3`1/3`m दूर है?
सिद्ध कीजिए कि वक्र xy = 4 तथा x2 + y2 = 8, एक दूसरे को स्पर्श करते हैं।
वक्र y = 4 – x2 तथा y = x2 का प्रतिच्छेद-कोण ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि f (x) = 2x + cot–1x + log `(sqrt(1+x^2) - x)`, R में वर्धमान फलन है।
सिद्ध कीजिए कि a ≥ 1 के लिए f (x) = `sqrt3` sinx - cosx - 2ax + b, R में हासमान फलन है।
किस बिंदु पर, वक्र y = – x3 + 3x2 + 9x – 27 की प्रवणता उच्चतम है? उच्चतम प्रवणता भी ज्ञात कीजिए।
यदि किसी समकोण त्रिभुज की एक भुजा तथा कर्ण की लंबाईयों का योगफल दिया हुआ है, तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज का क्षेत्रफल उच्चतम है, जब उनके मध्य का कोण `pi/3` है।
किसी नगर में एक टेलीफोन कंपनी की सूची में 500 ग्राहक हैं और वह प्रत्येक ग्राहक से प्रतिवर्ष 300 रु निश्चित शुल्क वसूलती हैं। कंपनी वार्षिक शुल्क बढ़ाना चाहती है, और ऐसा माना जाता है कि प्रत्येक 1 रु की वृद्धि करने पर एक ग्राहक टेलीफोन सेवा लेना समाप्त कर देगा।ज्ञात कीजिए कि कितनी वृद्धि करने से महत्तम (उच्चतम) लाभ होगा।
AB किसी वृत्त का एक व्यास है तथा C उसकी परिधि पर कोई बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि ∆ ABC का क्षेत्रफल महत्तम उस समय होगा जब वह समद्धिबाहु है।
भुजा x, 2x और `x/3` किसी आयताकार समांतर षट्फलक तथा एक गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का योगफल अचर दिया हुआ है। सिद्ध कीजिए कि उनके आयतन का योगफल निम्नतम होगा, यदि x गोले की त्रिज्या के तीन गुने के बराबर है। उनके आयतन के योगफल का निम्नतम मान भी ज्ञात कीजिए।
वक्र y (1 + x2 ) = 2 – x के, उस बिंदु पर, जहाँ यह x-अक्ष को काटती है, स्पर्श रेखा का समीकरण ______
मान लीजिए कि f : R → R, f (x) = 2x + cosx द्वारा परिभाषित है, तो f ______
y = x(x – 3)2, x के नीचे दिए हुए मानों के लिए हासमान है,
फलन f(x) = tanx – x ______
यदि x एक वास्तविक संख्या है, तो x2 – 8x + 17 का निम्नतम मान ______
फलन f(x) = `"a"x + "b"/x` (a > 0, b > 0, x > 0) का निम्नतम मान ______ है।
