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प्रश्न
दर्शाइए कि त्रिभुज ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है यदि सारणिक
Δ = `[(1, 1, 1),(1 + cos"A", 1 + cos"B", 1 + cos"C"),(cos^2"A" + cos"A", cos^2"B" + cos"B", cos^2"C" + cos"C")]` = 0
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उत्तर
हमारे पास है, Δ = `[(1, 1, 1),(1 + cos"A", 1 + cos"B", 1 + cos"C"),(cos^2"A" + cos"A", cos^2"B" + cos"B", cos^2"C" + cos"C")]` = 0
[C1 → C1 – C2 और C2 → C2 – C3 लागू करना]
⇒ `[(0, 0, 1),(cos"A" - cos"C", cos"B" - cos"C", 1 + cos"C"),(cos^2"A" + cos"A" - cos^2"C" - cos"C", cos^2"B" + cos"B" - cos^2"C" - cos"C", cos^2"C" + cos"C")]` = 0
[C1 से सामान्य (cos A – cos C) और (cos B – cos C) C2 से सामान्य लेना]
⇒ `(cos "A" - cos "C") (cos "B" - cos "C") xx [(0, 0, 1),(1, 1, 1 + cos"C"),(cos"A" + cos"C" + 1, cos"B" + cos"C" + 1, cos^2"C" + cos"C")]` = 0
[C1 → C1 – C2 लागू करना]
⇒ `(cos "A" - cos "C") (cos "B" - cos "C") xx [(0, 0, 1),(0, 1, 1 + cos"C"),(cos"A" - cos"B", cos"B" + cos"C" + 1, cos^2"C" + cos"C")]` = 0
⇒ `(cos"A" - cos"C")(cos"B" - cos"C")(cos"B" - cos"A")` = 0
⇒ cos A = cos C या cos B = cos C या cos B = cos A
⇒ A = C या B = C या B = A
अत: ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
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निम्नलिखित सारणिक का मान ज्ञात कीजिए।
`|(x^2-x+1, x -1),(x+1, x+1)|`
यदि A = `[(1,0,1),(0,1,2),(0,0,4)]` हो, तो दिखाइए |3A| = 27|A|।
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`|(cosalphacosbeta, cosalphasinbeta,-sinalpha),(-sinbeta,cosbeta,0),(sinalpha cosbeta,sinalphasinbeta,cosalpha)|` का मान ज्ञात कीजिए।
यदि a ≠ 0 हो तो समीकरण `[(x+a, x, x),(x, x + a, x),(x,x,x+a)] = 0` को हल कीजिए |
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दिखाइए कि यदि सारणिक ∆ = `|(3, -2, sin3theta),(-7, 8, cos2theta),(-11, 14, 2)|` = 0 है तब sinθ = 0 या `1/2` होगा।
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सारणिक ∆ = `|(cos(x + y), -sin(x + y), cos2y),(sinx, cosx, siny),(-cosx, sinx, cosy)|`, x से स्वतंत्र है।
मान निकालिए- `|(3x, -x + y, -x + z),(x - y, 3y, z - y),(x - z, y - z, 3z)|`
मान निकालिए- `|(x + 4, x, x),(x, x + 4, x),(x, x, x + 4)|`
सिद्ध कीजिए - `|(y + z, z, y),(z, z + x, x),(y, x, x + y)|` = 4xyz
यदि एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) तथा त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई ‘a’ है तो सिद्ध कीजिए कि `|(x_1, y_1, 1),(x_2, y_2, 1),(x_3, y_3, 1)|^2 = (3"a"^4)/4`
यदि a1, a2, a3, ..., ar G.P में हैं तो सिद्ध कौजिए कि सारणिक `|("a"_("r" + 1), "a"_("r" + 5), "a"_("r" + 9)),("a"_("r" + 7), "a"_("r" + 11), "a"_("r" + 15)),("a"_("r" + 11), "a"_("r" + 17), "a"_("r" + 21))|` r से स्वतंत्र है।
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यदि cos2θ = 0, तब `|(0, costheta, sin theta),(cos theta, sin theta,0),(sin theta, 0, cos theta)|^2` = ______.
यदि समीकरण |`|(x, 3, 7),(2, x, 2),(7, 6, x)|` = 0 का एक मूल x = – 9 है तब इसके अन्य दो मूल ______ हैं।
`|(0, xyz, x - z),(y - x, 0, y z),(z - x, z - y, 0)|` = ______.
यदि A और B कोटि 3 के आव्यूह हैं और |A| = 5, |B| = 3, तब |3AB| = 27 × 5 × 3 = 405.
यदि तीन कोटि के एक सारणिक का मान 12 है तब इसके प्रत्येक अवयव को इसके सहखंड से बदलने पर प्राप्त सारणिक का मान 144 होगा।
सारणिक `|(sin"A", cos"A", sin"A" + cos"B"),(sin"B", cos"A", sin"B" + cos"B"),(sin"C", cos"A", sin"C" + cos"B")|` = 0
