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प्रश्न
दर्शाइए कि त्रिभुज ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है यदि सारणिक
Δ = `[(1, 1, 1),(1 + cos"A", 1 + cos"B", 1 + cos"C"),(cos^2"A" + cos"A", cos^2"B" + cos"B", cos^2"C" + cos"C")]` = 0
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उत्तर
हमारे पास है, Δ = `[(1, 1, 1),(1 + cos"A", 1 + cos"B", 1 + cos"C"),(cos^2"A" + cos"A", cos^2"B" + cos"B", cos^2"C" + cos"C")]` = 0
[C1 → C1 – C2 और C2 → C2 – C3 लागू करना]
⇒ `[(0, 0, 1),(cos"A" - cos"C", cos"B" - cos"C", 1 + cos"C"),(cos^2"A" + cos"A" - cos^2"C" - cos"C", cos^2"B" + cos"B" - cos^2"C" - cos"C", cos^2"C" + cos"C")]` = 0
[C1 से सामान्य (cos A – cos C) और (cos B – cos C) C2 से सामान्य लेना]
⇒ `(cos "A" - cos "C") (cos "B" - cos "C") xx [(0, 0, 1),(1, 1, 1 + cos"C"),(cos"A" + cos"C" + 1, cos"B" + cos"C" + 1, cos^2"C" + cos"C")]` = 0
[C1 → C1 – C2 लागू करना]
⇒ `(cos "A" - cos "C") (cos "B" - cos "C") xx [(0, 0, 1),(0, 1, 1 + cos"C"),(cos"A" - cos"B", cos"B" + cos"C" + 1, cos^2"C" + cos"C")]` = 0
⇒ `(cos"A" - cos"C")(cos"B" - cos"C")(cos"B" - cos"A")` = 0
⇒ cos A = cos C या cos B = cos C या cos B = cos A
⇒ A = C या B = C या B = A
अत: ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
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निम्नलिखित सारणिक का मान ज्ञात कीजिए।
`|(2,-1,-2),(0,2,-1),(3,-5,0)|`
x का मान ज्ञात कीजिए यदि `|(2,3),(4,5)|=|(x,3),(2x,5)|`।
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`|(1,x,y),(1,x+y,y),(1,x,x+y)|` का मान ज्ञात कीजिए।
यदि `|(2x, 5),(8, x)| = |(6, 5),(8, 3)|`, तो x ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि (A–1)′ = (A′)–1, जहाँ A एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
एक त्रिभुज ABC में यदि `|(1, 1, 1),(1 + sin"A", 1 + sin"B", 1 + sin"C"),(sin"A" + sin^2"A", sin"B" + sin^2"B", sin"C" + sin^2"C")|` = 0, तो सिद्ध कीजिए कि ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
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मान निकालिए- `|("a" - "b" - "c", 2"a", 2"a"),(2"b", "b" - "c" - "a", 2"b"),(2"c", 2"c", "c" - "a" - "b")|`
यदि `[(4 - x, 4 + x, 4 + x),(4 + x, 4 - x, 4 + x),(4 + x, 4 + x, 4 - x)]` = 0, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
आव्यूह विधि से समीकरण निकाय 3x + 2y – 2z = 3, x + 2y + 3z = 6, 2x – y + z = 2 को हल कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि `|("bc" - "a"^2, "ca" - "b"^2, "ab" - "c"^2),("ca" - "b"^2, "ab" - "c"^2, "bc" - "a"^2),("ab" - "c"^2, "bc" - "a"^2, "ca" - "b"^2)|`, a + b + c से विभाजित होता है। इसका भागफल भी ज्ञात कीजिए।
सारणिक `|("b"^2 - "ab", "b" - "c", "bc" - "ac"),("ab" - "a"^2, "a" - "b", "b"^2 - "ab"),("bc" - "ac", "c" - "a", "ab" - "a"^2)|` बराबर है।
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यदि x, y, z ∈ R, तब सारणिक `|((2x^2 + 2^(-x))^2, (2^x - 2^(-x))^2, 1),((3^x + 3^(-x))^2, (3^x -3^(-x))^2, 1),((4^x + 4^(-x))^2, (4^x - 4^(-x))^2, 1)|` बराबर है ______ ।
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