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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि `|("bc" - "a"^2, "ca" - "b"^2, "ab" - "c"^2),("ca" - "b"^2, "ab" - "c"^2, "bc" - "a"^2),("ab" - "c"^2, "bc" - "a"^2, "ca" - "b"^2)|`, a + b + c से विभाजित होता है। इसका भागफल भी ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
Δ = `|("bc" - "a"^2, "ca" - "b"^2, "ab" - "c"^2),("ca" - "b"^2, "ab" - "c"^2, "bc" - "a"^2),("ab" - "c"^2, "bc" - "a"^2, "ca" - "b"^2)|`
[C1 → C1 – C2 और C2 → C2 – C3 लागू करना]
Δ = `|("bc" - "a"^2 - "ca" + "b"^2,"ca" - "b"^2 - "ab" + "c"^2, "ab" - "c"^2),("ca" - "b"^2 - "ab" + "c"^2, "ab" - "c"^2 - "bc" + "a"^2, "bc" - "a"^2),("ab" - "c"^2 - "bc" + "a"^2, "bc" - "a"^2 - "ca" + "b"^2, "ca" - "b"^2)|`
= `|(("b" - "a")("a" + "b" + "c"), ("c" - "b")("a" + "b" + "c"), "ab" - "c"^2),(("c" - "b")("a" + "b" + "c"), ("a" - "c")("a" + "b" + "c"), "bc" - "a"^2),(("a" - "c")("a" + "b" + "c"), ("b" - "a")("a" + "b" + "c"), "ca" - "b"^2)|`
[C1 और C2 प्रत्येक से उभयनिष्ठ (a + b + c) लेना]
Δ = `("a" + "b" + "c")^2 |("b" - "a", "c" - "b", "ab" - "c"^2),("c" - "b", "a" - "c", "bc" - "a"^2),("a" - "c", "b" - "a", "ca" - "b"^2)|`
[R1 → R1 + R2 + R3 लागू करना]
Δ = `("a" + "b" + "c")^2 |(0, 0, "ab" + "bc" + "ca" - ("a"^2 + "b"^2 + "c"^2)),("c" - "b", "a" - "c", "bc" - "a"^2),("a" - "c", "b" - "a", "ca" - "b"^2)|`
[R1 के साथ विस्तार करना]
Δ = `("a" + "b" + "c")^2 ["ab" + "bc" + "ca" - ("a"^2 + "b"^2 + "c"^2)][("c" - "b")("b" - "a") - ("a" - "c")^2]`
= `("a" + "b" + "c")^2 ("ab" + "bc" + "ca" - "a"^2 - "b"^2 - "c"^2) xx ("bc" - "ac" - "b"^2 + "ab" - "a"^2 - "c"^2 + 2"ac")`
= (a + b + c)[(a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)2]
अत: दिया गया सारणिक (a + b + c) से विभाज्य है और भागफल (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)2 है।
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सारणिक `|("b"^2 - "ab", "b" - "c", "bc" - "ac"),("ab" - "a"^2, "a" - "b", "b"^2 - "ab"),("bc" - "ac", "c" - "a", "ab" - "a"^2)|` बराबर है।
यदि /f(t) = `|(cos"t","t", 1),(2sin"t", "t", 2"t"),(sin"t", "t", "t")|`, तब `lim_("t" - 0) ("f"("t"))/"t"^2` बराबर है।
यदि A और B व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं तब निम्न में से कौन सा सत्य नहीं है?
यदि A एक 3 × 3 कोटि का व्युत्क्रमणीय आव्यूह है तब |A–1 | = ______
यदि cos2θ = 0, तब `|(0, costheta, sin theta),(cos theta, sin theta,0),(sin theta, 0, cos theta)|^2` = ______.
`|(0, xyz, x - z),(y - x, 0, y z),(z - x, z - y, 0)|` = ______.
(A3)–1 = (A–1)3, जहाँ A एक वर्ग आव्यूह है और |A| ≠ 0 है।
यदि A और B कोटि 3 के आव्यूह हैं और |A| = 5, |B| = 3, तब |3AB| = 27 × 5 × 3 = 405.
सारणिक `|(sin"A", cos"A", sin"A" + cos"B"),(sin"B", cos"A", sin"B" + cos"B"),(sin"C", cos"A", sin"C" + cos"B")|` = 0
