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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि `|("bc" - "a"^2, "ca" - "b"^2, "ab" - "c"^2),("ca" - "b"^2, "ab" - "c"^2, "bc" - "a"^2),("ab" - "c"^2, "bc" - "a"^2, "ca" - "b"^2)|`, a + b + c से विभाजित होता है। इसका भागफल भी ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
Δ = `|("bc" - "a"^2, "ca" - "b"^2, "ab" - "c"^2),("ca" - "b"^2, "ab" - "c"^2, "bc" - "a"^2),("ab" - "c"^2, "bc" - "a"^2, "ca" - "b"^2)|`
[C1 → C1 – C2 और C2 → C2 – C3 लागू करना]
Δ = `|("bc" - "a"^2 - "ca" + "b"^2,"ca" - "b"^2 - "ab" + "c"^2, "ab" - "c"^2),("ca" - "b"^2 - "ab" + "c"^2, "ab" - "c"^2 - "bc" + "a"^2, "bc" - "a"^2),("ab" - "c"^2 - "bc" + "a"^2, "bc" - "a"^2 - "ca" + "b"^2, "ca" - "b"^2)|`
= `|(("b" - "a")("a" + "b" + "c"), ("c" - "b")("a" + "b" + "c"), "ab" - "c"^2),(("c" - "b")("a" + "b" + "c"), ("a" - "c")("a" + "b" + "c"), "bc" - "a"^2),(("a" - "c")("a" + "b" + "c"), ("b" - "a")("a" + "b" + "c"), "ca" - "b"^2)|`
[C1 और C2 प्रत्येक से उभयनिष्ठ (a + b + c) लेना]
Δ = `("a" + "b" + "c")^2 |("b" - "a", "c" - "b", "ab" - "c"^2),("c" - "b", "a" - "c", "bc" - "a"^2),("a" - "c", "b" - "a", "ca" - "b"^2)|`
[R1 → R1 + R2 + R3 लागू करना]
Δ = `("a" + "b" + "c")^2 |(0, 0, "ab" + "bc" + "ca" - ("a"^2 + "b"^2 + "c"^2)),("c" - "b", "a" - "c", "bc" - "a"^2),("a" - "c", "b" - "a", "ca" - "b"^2)|`
[R1 के साथ विस्तार करना]
Δ = `("a" + "b" + "c")^2 ["ab" + "bc" + "ca" - ("a"^2 + "b"^2 + "c"^2)][("c" - "b")("b" - "a") - ("a" - "c")^2]`
= `("a" + "b" + "c")^2 ("ab" + "bc" + "ca" - "a"^2 - "b"^2 - "c"^2) xx ("bc" - "ac" - "b"^2 + "ab" - "a"^2 - "c"^2 + 2"ac")`
= (a + b + c)[(a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)2]
अत: दिया गया सारणिक (a + b + c) से विभाज्य है और भागफल (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)2 है।
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सिद्ध कीजिए - `|("a"^2 + 2"a", 2"a" + 1, 1),(2"a" + 1, "a" + 2, 1),(3, 3, 1)| = ("a" - 1)^3`
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दर्शाइए कि त्रिभुज ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है यदि सारणिक
Δ = `[(1, 1, 1),(1 + cos"A", 1 + cos"B", 1 + cos"C"),(cos^2"A" + cos"A", cos^2"B" + cos"B", cos^2"C" + cos"C")]` = 0
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यदि θ एक वास्तविक संख्या है तब Δ = `|(1, 1, 1),(1, 1 + sin theta, 1),(1 + cos theta, 1, 1)|` का अधिकतम मान है।
यदि f(x) = `|(0, x - "a", x - "b"),(x + "b", 0, x - "c"),(x + "b", x + "c", 0)|`, तब
यदि A एक 3 × 3 कोटि का आव्यूह है तो |3A| = ______
यदि cos2θ = 0, तब `|(0, costheta, sin theta),(cos theta, sin theta,0),(sin theta, 0, cos theta)|^2` = ______.
यदि समीकरण |`|(x, 3, 7),(2, x, 2),(7, 6, x)|` = 0 का एक मूल x = – 9 है तब इसके अन्य दो मूल ______ हैं।
यदि f(x) = `|((1 + x)^17, (1 + x)^19, (1 + x)^23),((1 + x)^23, (1 + x)^29, (1 + x)^34),((1 +x)^41, (1 +x)^43, (1 + x)^47)|` = A + Bx + Cx2 + ..., है तब A = ______
(A3)–1 = (A–1)3, जहाँ A एक वर्ग आव्यूह है और |A| ≠ 0 है।
|A–1| ≠ |A|–1, जहाँ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
यदि A और B कोटि 3 के आव्यूह हैं और |A| = 5, |B| = 3, तब |3AB| = 27 × 5 × 3 = 405.
यदि तीन कोटि के एक सारणिक का मान 12 है तब इसके प्रत्येक अवयव को इसके सहखंड से बदलने पर प्राप्त सारणिक का मान 144 होगा।
`|(x + 1, x + 2, x + "a"),(x + 2, x + 3, x + "b"),(x + 3, x + 4, x + "c")|` = 0, जहाँ a, b, c, A.P में है।
