Question

एक त्रिभुज ABC में यदि `|(1, 1, 1),(1 + sin"A", 1 + sin"B", 1 + sin"C"),(sin"A" + sin^2"A", sin"B" + sin^2"B", sin"C" + sin^2"C")|` = 0, तो सिद्ध कीजिए कि ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

Answer 1

माना ∆ = `|(1, 1, 1),(1 + sin"A", 1 + sin"B", 1 + sin"C"),(sin"A" + sin^2"A", sin"B" + sin^2"B", sin"C" + sin^2"C")|`

= `|(1, 1, 1),(1 + sin"A", 1 + sin"B", 1 + sin"C"),(-cos^2"A", -cos^2"B", -cos^2"C")|`   R₃ → R₃ – R₂

= `|(1, 0, 0),(1 + sin"A", sin"B" - sin"A", sin"C" - sin"B"),(-cos^2"A", cos^2"A" - cos^2"B", cos^2"B" - cos^2"C")|` .......(C₃ → C₃ – C₂ and C₂ → C₂ – C₁)

R₁, के अनुदिश प्रसरण करने पर हम पाते हैं

∆ = (sinB – sinA) (sin²C – sin²B) – (sinC – sin B) (sin²B – sin²A)

= (sinB – sinA) (sinC – sinB) (sinC – sin A)

= 0

⇒ Either sinB – sinA = 0 या sinC – sinB या sinC – sinA = 0

⇒ A = B या B = C या C = A

अर्थात्‌ त्रिभुज ABC समद्विबाहु त्रिभुज है।