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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि सारणिक `|(x,sintheta,costheta),(-sintheta,-x,1),(costheta,1,x)|`, θ से स्वतंत्र है।
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उत्तर
मान लीजिए, Δ = `|(x,sintheta,costheta),(-sintheta,-x,1),(costheta,1,x)|`
= x(−x2 − 1) − sin θ(−x sin θ − cos θ) + cos θ(−sin θ + x cos θ)
= −x(x2 + 1) + x sin2 θ + sin θ cos θ − sin θ cos θ + x cos2 θ
= −x(x2 + 1) + x(sin2 θ + cos2 θ)
= −x(x2 + 1) + x
= −x[x2 + 1 − 1]
= −x3
अतः सारणिक θ से स्वतंत्र है।
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मान निकालिए- `|("a" + x, y, z),(x, "a" + y, z),(x, y, "a" + z)|`
सिद्ध कीजिए - `|(y + z, z, y),(z, z + x, x),(y, x, x + y)|` = 4xyz
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θ का वह मान ज्ञात कीजिए जो `[(1, 1, sin3theta),(-4, 3, cos2theta),(7, -7, -2)]` = 0 को संतुष्ट करता हो।
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दर्शाइए कि त्रिभुज ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है यदि सारणिक
Δ = `[(1, 1, 1),(1 + cos"A", 1 + cos"B", 1 + cos"C"),(cos^2"A" + cos"A", cos^2"B" + cos"B", cos^2"C" + cos"C")]` = 0
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सारणिक `|(sin"A", cos"A", sin"A" + cos"B"),(sin"B", cos"A", sin"B" + cos"B"),(sin"C", cos"A", sin"C" + cos"B")|` = 0
`|(1, 1, 1),(1, (1 + sintheta), 1),(1, 1, 1 + costheta)|` का अधिकतम मान `1/2` है।
