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Question
एक त्रिभुज ABC में यदि `|(1, 1, 1),(1 + sin"A", 1 + sin"B", 1 + sin"C"),(sin"A" + sin^2"A", sin"B" + sin^2"B", sin"C" + sin^2"C")|` = 0, तो सिद्ध कीजिए कि ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
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Solution
माना ∆ = `|(1, 1, 1),(1 + sin"A", 1 + sin"B", 1 + sin"C"),(sin"A" + sin^2"A", sin"B" + sin^2"B", sin"C" + sin^2"C")|`
= `|(1, 1, 1),(1 + sin"A", 1 + sin"B", 1 + sin"C"),(-cos^2"A", -cos^2"B", -cos^2"C")|` R3 → R3 – R2
= `|(1, 0, 0),(1 + sin"A", sin"B" - sin"A", sin"C" - sin"B"),(-cos^2"A", cos^2"A" - cos^2"B", cos^2"B" - cos^2"C")|` .......(C3 → C3 – C2 and C2 → C2 – C1)
R1, के अनुदिश प्रसरण करने पर हम पाते हैं
∆ = (sinB – sinA) (sin2C – sin2B) – (sinC – sin B) (sin2B – sin2A)
= (sinB – sinA) (sinC – sinB) (sinC – sin A)
= 0
⇒ Either sinB – sinA = 0 या sinC – sinB या sinC – sinA = 0
⇒ A = B या B = C या C = A
अर्थात् त्रिभुज ABC समद्विबाहु त्रिभुज है।
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