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प्रश्न
यदि A = `[(1, 2, 0),(-2, -1, -2),(0, -1, 1)]`, तो A–1 ज्ञात कीजिए। A–1 का प्रयोग करके रैखिक समीकरणों के निकाय x – 2y = 10 , 2x – y – z = 8, –2y + z = 7 को हल कीजिए।
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उत्तर
हमारे पास, A = `[(1, 2, 0),(-2, -1, -2),(0, -1, 1)]`
सह-कारक हैं:
A11 = –3
A12 = 2
A13 = 2
A31 = –4
A32 = 2
A33 = 3
∴ adjA = `[(-3, 2, 2),(-2, 1, 1),(-4, 2, 3)]^"T"`
= `[(-3, -2, -4),(2, 1, 2),(2, 1, 3)]`
|A| = 1(–3) – 2(–2) + 0 = 1
∴ `"A"^-1 ("adj A")/|"A"| = [(-3, -2, -4),(2, 1, 2),(2, 1, 3)]`
अब रैखिक समीकरणों का निकाय है
x – 2 = 10
2x– y – z = 8
और –2y + z = 7
या AX = B
अर्थात, `[(1, -2, 0),(2, -1, -1),(0, -2, 1)][(x),(y),(z)] = [(10),(8),(7)]`
जहाँ, A = `[(1, -2, 0),(2, -1, -1),(0, -2, 1)]`
X = `[(x),(y),(z)]` और B + `[(10),(8),(7)]`
∴ X = `"A"^-1"B"`
⇒ `[(x),(y),(z)] = [(-3, 2, 2),(-2, 1, 1),(-4, 2, 3)] [(10),(8),(7)]`
= `[(-30 + 16 + 14),(-20 +8 + 7),(-40 + 16 + 21)]`
= `[(0),(-5),(-3)]`
∴ x = 0, y = –5 और = –3
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निम्नलिखित सारणिक का मान ज्ञात कीजिए।
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यदि A = `[(0, 1, 3),(1, 2, x),(2, 3, 1)]`, A–1 = `[(1/2, -4, 5/2),(-1/2, 3, -3/2),(1/2, y, 1/2)]` तब x = 1, y = – 1
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सिद्ध कीजिए - `|(y^2z^2, yz, y + z),(z^2x^2, zx, z + x),(x^2y^2, xy, x + y)|` = 0
यदि A = `[(0, 1, 1),(1, 0, 1),(1, 1, 0)]` तो A–1 ज्ञात कीजिए और दर्शाइए कि A–1 = `("A"^2 - 3"I")/2`.
सारणिक `|("a" - "b", "b" + "c", "a"),("b" - "a", "c" + "a", "b"),("c" - "a", "a" + "b", "c")|` का मान है
अंतराल `pi/4 x ≤ pi/4` में सारणिक `|(sinx, cosx, cosx),(cosx, sinx, cosx),(cosx, cosx, sinx)|` = 0 के विभिन्न वास्तविक मूलों की संख्या है।
यदि θ एक वास्तविक संख्या है तब Δ = `|(1, 1, 1),(1, 1 + sin theta, 1),(1 + cos theta, 1, 1)|` का अधिकतम मान है।
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यदि A = `[(2, lambda, -3),(0, 2, 5),(1, 1, 3)]` तब A–1 का अस्तित्व है यदि
सारणिक `|(x , x + y, x + 2y),(x + 2y, x, x + y),(x + y, x + 2y, x)|` का मान है
'a' के ऐसे दो मान हैं जिनके लिए ∆ = `|(1, -2, 5),(2, "a", -1),(0, 4, 2"a")|` = 86, है तो इन दो संख्याओं का योग है।
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