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प्रश्न
यदि A = `[(1, 2, 0),(-2, -1, -2),(0, -1, 1)]`, तो A–1 ज्ञात कीजिए। A–1 का प्रयोग करके रैखिक समीकरणों के निकाय x – 2y = 10 , 2x – y – z = 8, –2y + z = 7 को हल कीजिए।
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उत्तर
हमारे पास, A = `[(1, 2, 0),(-2, -1, -2),(0, -1, 1)]`
सह-कारक हैं:
A11 = –3
A12 = 2
A13 = 2
A31 = –4
A32 = 2
A33 = 3
∴ adjA = `[(-3, 2, 2),(-2, 1, 1),(-4, 2, 3)]^"T"`
= `[(-3, -2, -4),(2, 1, 2),(2, 1, 3)]`
|A| = 1(–3) – 2(–2) + 0 = 1
∴ `"A"^-1 ("adj A")/|"A"| = [(-3, -2, -4),(2, 1, 2),(2, 1, 3)]`
अब रैखिक समीकरणों का निकाय है
x – 2 = 10
2x– y – z = 8
और –2y + z = 7
या AX = B
अर्थात, `[(1, -2, 0),(2, -1, -1),(0, -2, 1)][(x),(y),(z)] = [(10),(8),(7)]`
जहाँ, A = `[(1, -2, 0),(2, -1, -1),(0, -2, 1)]`
X = `[(x),(y),(z)]` और B + `[(10),(8),(7)]`
∴ X = `"A"^-1"B"`
⇒ `[(x),(y),(z)] = [(-3, 2, 2),(-2, 1, 1),(-4, 2, 3)] [(10),(8),(7)]`
= `[(-30 + 16 + 14),(-20 +8 + 7),(-40 + 16 + 21)]`
= `[(0),(-5),(-3)]`
∴ x = 0, y = –5 और = –3
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सारणिक `|("b"^2 - "ab", "b" - "c", "bc" - "ac"),("ab" - "a"^2, "a" - "b", "b"^2 - "ab"),("bc" - "ac", "c" - "a", "ab" - "a"^2)|` बराबर है।
यदि A, B और C एक त्रिभुज के कोण हैं तो सारणिक
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