Advertisements
Advertisements
प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि `|("bc" - "a"^2, "ca" - "b"^2, "ab" - "c"^2),("ca" - "b"^2, "ab" - "c"^2, "bc" - "a"^2),("ab" - "c"^2, "bc" - "a"^2, "ca" - "b"^2)|`, a + b + c से विभाजित होता है। इसका भागफल भी ज्ञात कीजिए।
Advertisements
उत्तर
Δ = `|("bc" - "a"^2, "ca" - "b"^2, "ab" - "c"^2),("ca" - "b"^2, "ab" - "c"^2, "bc" - "a"^2),("ab" - "c"^2, "bc" - "a"^2, "ca" - "b"^2)|`
[C1 → C1 – C2 और C2 → C2 – C3 लागू करना]
Δ = `|("bc" - "a"^2 - "ca" + "b"^2,"ca" - "b"^2 - "ab" + "c"^2, "ab" - "c"^2),("ca" - "b"^2 - "ab" + "c"^2, "ab" - "c"^2 - "bc" + "a"^2, "bc" - "a"^2),("ab" - "c"^2 - "bc" + "a"^2, "bc" - "a"^2 - "ca" + "b"^2, "ca" - "b"^2)|`
= `|(("b" - "a")("a" + "b" + "c"), ("c" - "b")("a" + "b" + "c"), "ab" - "c"^2),(("c" - "b")("a" + "b" + "c"), ("a" - "c")("a" + "b" + "c"), "bc" - "a"^2),(("a" - "c")("a" + "b" + "c"), ("b" - "a")("a" + "b" + "c"), "ca" - "b"^2)|`
[C1 और C2 प्रत्येक से उभयनिष्ठ (a + b + c) लेना]
Δ = `("a" + "b" + "c")^2 |("b" - "a", "c" - "b", "ab" - "c"^2),("c" - "b", "a" - "c", "bc" - "a"^2),("a" - "c", "b" - "a", "ca" - "b"^2)|`
[R1 → R1 + R2 + R3 लागू करना]
Δ = `("a" + "b" + "c")^2 |(0, 0, "ab" + "bc" + "ca" - ("a"^2 + "b"^2 + "c"^2)),("c" - "b", "a" - "c", "bc" - "a"^2),("a" - "c", "b" - "a", "ca" - "b"^2)|`
[R1 के साथ विस्तार करना]
Δ = `("a" + "b" + "c")^2 ["ab" + "bc" + "ca" - ("a"^2 + "b"^2 + "c"^2)][("c" - "b")("b" - "a") - ("a" - "c")^2]`
= `("a" + "b" + "c")^2 ("ab" + "bc" + "ca" - "a"^2 - "b"^2 - "c"^2) xx ("bc" - "ac" - "b"^2 + "ab" - "a"^2 - "c"^2 + 2"ac")`
= (a + b + c)[(a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)2]
अत: दिया गया सारणिक (a + b + c) से विभाज्य है और भागफल (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)2 है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
निम्नलिखित सारणिक का मान ज्ञात कीजिए।
`|(2,4),(-5, -1)|`
निम्नलिखित सारणिक का मान ज्ञात कीजिए।
`|(cos theta, -sin theta),(sin theta, cos theta)|`
निम्नलिखित सारणिक का मान ज्ञात कीजिए।
`|(2,-1,-2),(0,2,-1),(3,-5,0)|`
x का मान ज्ञात कीजिए यदि `|(2,4),(5,1)|=|(2x, 4), (6,x)|`।
x का मान ज्ञात कीजिए यदि `|(2,3),(4,5)|=|(x,3),(2x,5)|`।
सारणिक का प्रसरण किए बिना सिद्ध कीजिए कि `[(a,a^2,bc),(b,b^2,ca),(c,c^2,ab)] = [(1,a^2,a^3),(1,b^2,b^3),(1,c^2,c^3)]`
यदि A = `[(1,sintheta,1),(-sintheta,1,sintheta),(-1,-sintheta,1)]`, जहाँ 0 ≤ θ ≤ 2π हो तो _____।
यदि `|(2x, 5),(8, x)| = |(6, 5),(8, 3)|`, तो x ज्ञात कीजिए।
यदि Δ = `|(0, "b" - "a", "c" - "a"),("a" - "b", 0, "c" - "b"),("a" - "c", "b" - "c", 0)|`, दो दिखाइए कि Δ = 0 है।
दिखाइए कि यदि सारणिक ∆ = `|(3, -2, sin3theta),(-7, 8, cos2theta),(-11, 14, 2)|` = 0 है तब sinθ = 0 या `1/2` होगा।
यदि x, y ∈ R, तब सारणिक ∆ = `|(cosx, -sinx, 1),(sinx, cosx, 1),(cos(x + y), -sin(x + y), 0)|` किस अंतराल में है।
सारणिक `|(1, 1, 1),(""^"n""C"_1, ""^("n" + 2)"C"_1, ""^("n" + 4)"C"_1),(""^"n""C"_2, ""^("n" + 2)"C"_2, ""^("n" + 4)"C"_2)|` = 8
यदि A = `[(x, 5, 2),(2, y, 3),(1, 1, z)]`, xyz = 80, 3x + 2y + 10z = 20, तब A adj. A = `[(81, 0, 0),(0, 81, 0),(0, 0, 81)]`
मान निकालिए- `|(x^2 - x + 1, x - 1),(x + 1, x + 1)|`
मान निकालिए- `|(0, xy^2, xz^2),(x^2y, 0, yz^2),(x^2z, zy^2, 0)|`
सिद्ध कीजिए - `|(y^2z^2, yz, y + z),(z^2x^2, zx, z + x),(x^2y^2, xy, x + y)|` = 0
θ का वह मान ज्ञात कीजिए जो `[(1, 1, sin3theta),(-4, 3, cos2theta),(7, -7, -2)]` = 0 को संतुष्ट करता हो।
यदि A = `[(1, 2, 0),(-2, -1, -2),(0, -1, 1)]`, तो A–1 ज्ञात कीजिए। A–1 का प्रयोग करके रैखिक समीकरणों के निकाय x – 2y = 10 , 2x – y – z = 8, –2y + z = 7 को हल कीजिए।
आव्यूह विधि से समीकरण निकाय 3x + 2y – 2z = 3, x + 2y + 3z = 6, 2x – y + z = 2 को हल कीजिए।
यदि a + b + c ≠ 0 और `|("a", "b","c"),("b", "c", "a"),("c", "a", "b")|` = 0, तो सिद्ध कीजिए कि a = b = c
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई है जिसके शीर्ष (-3, 0), (3, 0) और (0, k) हैं तो k का मान होगा।
सारणिक `|("b"^2 - "ab", "b" - "c", "bc" - "ac"),("ab" - "a"^2, "a" - "b", "b"^2 - "ab"),("bc" - "ac", "c" - "a", "ab" - "a"^2)|` बराबर है।
यदि /f(t) = `|(cos"t","t", 1),(2sin"t", "t", 2"t"),(sin"t", "t", "t")|`, तब `lim_("t" - 0) ("f"("t"))/"t"^2` बराबर है।
सारणिक `|(x , x + y, x + 2y),(x + 2y, x, x + y),(x + y, x + 2y, x)|` का मान है
यदि x, y, z ∈ R, तब सारणिक `|((2x^2 + 2^(-x))^2, (2^x - 2^(-x))^2, 1),((3^x + 3^(-x))^2, (3^x -3^(-x))^2, 1),((4^x + 4^(-x))^2, (4^x - 4^(-x))^2, 1)|` बराबर है ______ ।
यदि A और B कोटि 3 के आव्यूह हैं और |A| = 5, |B| = 3, तब |3AB| = 27 × 5 × 3 = 405.
`|(x + 1, x + 2, x + "a"),(x + 2, x + 3, x + "b"),(x + 3, x + 4, x + "c")|` = 0, जहाँ a, b, c, A.P में है।
यदि सारणिक `|(x + "a", "p" + "u", "l" + "f"),("y" + "b", "q" + "v", "m" + "g"),("z" + "c", "r" + "w", "n" + "h")|` को कोटि 3 के K सारणिकों में ऐसे विघटित किया जाए कि उनके प्रत्येक अवयव में केवल एक पद हो तब K का मान 8 है।
