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Question
सभी x, y ϵ N के लिए f(x + y) = f(x). f(y) को संतुष्ट करता हुआ f एक ऐसा फलन है कि f(1) = 3 एवं `sum_("x" = 1)^ "n"` f(x) = 120 तो n का मान ज्ञात करो।
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Solution
यह दिया गया है कि,
f (x + y) = f (x) × f (y) सभी x, y ∈ N के लिए … (1)
f (1) = 3
(1) में x = y = 1 लेने पर, हम प्राप्त करते हैं
f (1 + 1) = f (2) = f (1) f (1) = 3 × 3 = 9
इसी प्रकार,
f (1 + 1 + 1) = f (3) = f (1 + 2) = f (1) f (2) = 3 × 9 = 27
f (4) = f (1 + 3) = f (1) f (3) = 3 × 27 = 81
∴ f (1), f (2), f (3), ..., अर्थात 3, 9, 27, ..., एक गुणोत्तर श्रेणी बनाता है। प्रथम पद और सार्व अनुपात दोनों 3 के समान है।
यह ज्ञात है कि, Sn = `(a(r^n - 1))/(r - 1)`
यह दिया गया है कि, `sum_(x = 1)^nf (x) = 120`
∴ `120 = (3(3^n - 1))/(3 - 1)`
= `120 = 3/2 (3^n - 1)`
= 3n - 1 = 80
= 3n - 1 = 81 = 34
∴ इस प्रकार, n का मान 4 है।
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