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Question
दिखाइए कि एक गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम n पदों के योगफल तथा (n + 1) वें पद से (2n)वें पद तक के पदों के योगफल का अनुपात `1/"r"^"n"` है।
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Solution
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद a और सार्व अनुपात = `1/"r"^"n"` हों, तब
n पदों का योगफल = `("a"(1 - "r"^"n"))/(1 - "r")` .............(i)
(n + 1)वाँ पद = `"ar"^("n"+ 1 - 1)` = arn
∴ arn + arn + 1 + arn + 2 + ....... n पदों तक
= `("ar"^"n"(1 - "r"^"n"))/(1 - "r")` ...............(ii)
समीकरण (i) को (ii) से भाग देने पर,
`("n पदों का योगफल")/("अगले n पदों का योगफल") = ("a"(1 - "r"^"n"))/(1 - "r") ÷ ("ar"^"n"(1 - "r"^"n"))/(1 - "r")`
= `("a"(1 - "r"^"n"))/(1 - "r") xx (1 - "r")/("ar"^"n" (1 - "r"^ "n"))`
= `1/"r"^"n"`
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