Question

दिखाइए कि एक गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम n पदों के योगफल तथा (n + 1) वें पद से (2n)वें पद तक के पदों के योगफल का अनुपात `1/"r"^"n"` है।

Answer 1

मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद a और सार्व अनुपात = `1/"r"^"n"` हों, तब

n पदों का योगफल = `("a"(1 - "r"^"n"))/(1 - "r")` .............(i)

(n + 1)वाँ पद = `"ar"^("n"+ 1 - 1)` = arⁿ 

∴ arⁿ + ar^{n + 1} + ar^{n + 2} + ....... n पदों तक

= `("ar"^"n"(1 - "r"^"n"))/(1 - "r")` ...............(ii)

समीकरण (i) को (ii) से भाग देने पर,

`("n पदों का योगफल")/("अगले n पदों का योगफल") = ("a"(1 - "r"^"n"))/(1 - "r") ÷ ("ar"^"n"(1 - "r"^"n"))/(1 - "r")`

= `("a"(1 - "r"^"n"))/(1 - "r") xx (1 - "r")/("ar"^"n" (1 - "r"^ "n"))`

= `1/"r"^"n"`