Advertisements
Advertisements
Question
दिखाइए कि एक गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम n पदों के योगफल तथा (n + 1) वें पद से (2n)वें पद तक के पदों के योगफल का अनुपात `1/"r"^"n"` है।
Advertisements
Solution
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद a और सार्व अनुपात = `1/"r"^"n"` हों, तब
n पदों का योगफल = `("a"(1 - "r"^"n"))/(1 - "r")` .............(i)
(n + 1)वाँ पद = `"ar"^("n"+ 1 - 1)` = arn
∴ arn + arn + 1 + arn + 2 + ....... n पदों तक
= `("ar"^"n"(1 - "r"^"n"))/(1 - "r")` ...............(ii)
समीकरण (i) को (ii) से भाग देने पर,
`("n पदों का योगफल")/("अगले n पदों का योगफल") = ("a"(1 - "r"^"n"))/(1 - "r") ÷ ("ar"^"n"(1 - "r"^"n"))/(1 - "r")`
= `("a"(1 - "r"^"n"))/(1 - "r") xx (1 - "r")/("ar"^"n" (1 - "r"^ "n"))`
= `1/"r"^"n"`
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
गुणोत्तर श्रेणी `5/2, 5/4, 5/8, ......` का 20वाँ तथा nवाँ पद ज्ञात कीजिए।
उस गुणोत्तर श्रेणी का 12वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 8वाँ पद 192 तथा सार्व अनुपात 2 है।
अनुक्रम का कौन सा पद:
`sqrt3, 3, 3 sqrt3`, ….; 729 है?
अनुक्रम का कौन सा पद:
`1/3, 1/9, 1/27` ,....., `1/19683` है?
x के किस मान के लिए संख्याएँ `-2/7, "x", (-7)/2` गुणोत्तर श्रेणी में हैं?
निम्नलिखित गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।
0.15, 0.015, 0.0015, ….., 20 पदों तक
निम्नलिखित गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।
`sqrt7, sqrt21, 3sqrt7, .... n` पदों तक
मान ज्ञात कीजिए `sum_("k" = 1)^11 (2 + 3^"k")`
एक गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योगफल `39/10` है तथा उनका गुणनफल 1 है। सार्व अनुपात तथा पदों को ज्ञात कीजिए।
अनुक्रम 8, 88, 888, 8888, …. के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का pवाँ, qवाँ तथा rवाँ पद क्रमशः a, b, तथा c हो, तो सिद्ध कीजिए कि aq−r br−p cp−q = 1
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम तथा nवाँ पद क्रमशः a तथा b हैं, एवं P, n पदों का गुणनफल हो, तो सिद्ध कीजिए कि P2 = (ab)n
यदि a, b, c तथा d गुणोत्तर श्रेणी में हैं तो दिखाइए कि (a2 + b2 + c2) (b2 + c2 + d2) = (ab + bc + cd)2
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनको 3 तथा 81 के बीच रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी बन जाए।
किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद 1 है। तीसरे एवं पाँचवें पदों का योग 90 हो तो गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
किसी गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योग 56 है। यदि हम क्रम से इन संख्याओं में से 1, 7, 21 घटाएँ तो हमें एक समांतर श्रेणी प्राप्त होती है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
यदि `("a" + "bx")/("a" - "bx") = ("b" + "cx")/("b" - "cx") = ("c" + "dx")/("c" - "dx")` (x ≠ 0) हो, तो दिखाइए कि a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी में है।
किसी गुणोत्तर श्रेणी में S, n पदों का योग, P उनका गुणनफल तथा R उनके व्युत्क्रमों का योग हो तो सिद्ध कीजिए कि P2Rn = Sn
यदि a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि (an + bn), (bn + cn), (cn + dn) गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
यदि a, b, c समांतर श्रेणी में हैं b, c, d गुणोत्तर श्रेणी में हैं तथा `1/"c", 1/"d", 1/"e"` समांतर श्रेणी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि a, c, e गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
