Advertisements
Advertisements
प्रश्न
दिखाइए कि एक गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम n पदों के योगफल तथा (n + 1) वें पद से (2n)वें पद तक के पदों के योगफल का अनुपात `1/"r"^"n"` है।
Advertisements
उत्तर
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद a और सार्व अनुपात = `1/"r"^"n"` हों, तब
n पदों का योगफल = `("a"(1 - "r"^"n"))/(1 - "r")` .............(i)
(n + 1)वाँ पद = `"ar"^("n"+ 1 - 1)` = arn
∴ arn + arn + 1 + arn + 2 + ....... n पदों तक
= `("ar"^"n"(1 - "r"^"n"))/(1 - "r")` ...............(ii)
समीकरण (i) को (ii) से भाग देने पर,
`("n पदों का योगफल")/("अगले n पदों का योगफल") = ("a"(1 - "r"^"n"))/(1 - "r") ÷ ("ar"^"n"(1 - "r"^"n"))/(1 - "r")`
= `("a"(1 - "r"^"n"))/(1 - "r") xx (1 - "r")/("ar"^"n" (1 - "r"^ "n"))`
= `1/"r"^"n"`
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
गुणोत्तर श्रेणी `5/2, 5/4, 5/8, ......` का 20वाँ तथा nवाँ पद ज्ञात कीजिए।
किसी गुणोत्तर श्रेणी का चौथा पद उसके दूसरे पद का वर्ग है तथा प्रथम पद –3 है तो 7वाँ पद ज्ञात कीजिए।
अनुक्रम का कौन सा पद:
`sqrt3, 3, 3 sqrt3`, ….; 729 है?
x के किस मान के लिए संख्याएँ `-2/7, "x", (-7)/2` गुणोत्तर श्रेणी में हैं?
निम्नलिखित गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।
0.15, 0.015, 0.0015, ….., 20 पदों तक
निम्नलिखित गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।
`sqrt7, sqrt21, 3sqrt7, .... n` पदों तक
मान ज्ञात कीजिए `sum_("k" = 1)^11 (2 + 3^"k")`
एक गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद a = 729 तथा 7वाँ पद 64 है तो S7 ज्ञात कीजिए?
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का 4वाँ, 10वाँ तथा 16वाँ पद क्रमशः x, y तथा z हैं, तो सिद्ध कीजिए कि x, y, z गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
अनुक्रम 8, 88, 888, 8888, …. के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
अनुक्रम 2, 4, 8, 16, 32, तथा 128, 32, 8, 2, `1/2` के संगत पदों के गुणनफल से बने अनुक्रम का योगफल ज्ञात कीजिए।
दिखाइए कि अनुक्रम a, ar, ar2, … arn – 1 तथा A, AR, AR2, …. ARn – 1 के संगत पदों के गुणनफल से बना अनुक्रम गुणोत्तर श्रेणी होती है तथा सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
ऐसे चार पद ज्ञात कीजिए जो गुणोत्तर श्रेणी में हो, जिसका तीसरा पद प्रथम पद से 9 अधिक हो तथा दूसरा पद चौथे पद से 18 अधिक हो।
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का pवाँ, qवाँ तथा rवाँ पद क्रमशः a, b, तथा c हो, तो सिद्ध कीजिए कि aq−r br−p cp−q = 1
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम तथा nवाँ पद क्रमशः a तथा b हैं, एवं P, n पदों का गुणनफल हो, तो सिद्ध कीजिए कि P2 = (ab)n
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनको 3 तथा 81 के बीच रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी बन जाए।
सभी x, y ϵ N के लिए f(x + y) = f(x). f(y) को संतुष्ट करता हुआ f एक ऐसा फलन है कि f(1) = 3 एवं `sum_("x" = 1)^ "n"` f(x) = 120 तो n का मान ज्ञात करो।
किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद 1 है। तीसरे एवं पाँचवें पदों का योग 90 हो तो गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
किसी गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योग 56 है। यदि हम क्रम से इन संख्याओं में से 1, 7, 21 घटाएँ तो हमें एक समांतर श्रेणी प्राप्त होती है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
किसी गुणोत्तर श्रेणी के पदों की संख्या सम है। यदि उसके सभी पदों का योगफल, विषम स्थान पर रखे पदों के योगफल का 5 गुना है, तो सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
किसी गुणोत्तर श्रेणी में S, n पदों का योग, P उनका गुणनफल तथा R उनके व्युत्क्रमों का योग हो तो सिद्ध कीजिए कि P2Rn = Sn
यदि a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि (an + bn), (bn + cn), (cn + dn) गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
यदि a, b, c समांतर श्रेणी में हैं b, c, d गुणोत्तर श्रेणी में हैं तथा `1/"c", 1/"d", 1/"e"` समांतर श्रेणी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि a, c, e गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
