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Question
किसी गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योग 56 है। यदि हम क्रम से इन संख्याओं में से 1, 7, 21 घटाएँ तो हमें एक समांतर श्रेणी प्राप्त होती है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
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Solution
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी की तीन संख्याएँ a, ar, ar2 हैं।
तीनों पदों का योग = a + ar + ar2 = 56 …......(i)
इन संख्याओं में से 1, 7, 21 घटाने पर संख्याएँ
ar – 1, ar – 7, ar2 – 21 समांतर श्रेणी में हैं।
∴ 2(ar – 7) = (a – 1) + (ar2 – 21)
या 2ar – 14 = ar2 + a – 22
ar2 – 2ar + a = 22 – 14 = 8 ….........(ii)
समीकरण (i) को (ii) से भाग देने पर
= `("a"(1 + "r" + "r"^2))/("a"(1 - 2"r" + "r"^2)) = 58/8 = 7`
या 7(1 – 2r + r2) = 1 + r + r2
6r2 – 15r + 6 = 0
2r2 – 5r + 2 = 0
या (r – 2) (2r – 1) = 0 या r = 2, `1/2`
समीकरण (i) में r = 2 रखने पर,
a(1 + 2 + 4) = 56 या a = `56/7 = 8`
इस प्रकार तीन संख्याएँ हैं: 8, 16, 32
पुन: समीकरण (i) में r = `1/2` रखने से,
`"a" (1 + 1/2 + 1/4) = 56`
`"a" = (56 xx 4)/7 = 32`
∴ तीन संख्याएँ 32, 16, 8
अतः अभीष्ट संख्याएँ 8, 16, 32 हैं।
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