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Question
किसी गुणोत्तर श्रेणी के पदों की संख्या सम है। यदि उसके सभी पदों का योगफल, विषम स्थान पर रखे पदों के योगफल का 5 गुना है, तो सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
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Solution
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद = a सार्व अनुपात = r और पदों की संख्या = 2n
सभी पदों का योगफल = `("a"("r"^(2"n") - 1))/("r" - 1)`
विषम स्थानों पर रखे पद a, ar2, ar4, …. n पदों तक
इनका योग = a + ar2 + ar2 +…… n पदों तक
= `("a"[("r"^2)^"n" - 1])/("r"^2 - 1)`
= `("a"("r"^(2"n") - 1))/("r"^2 - 1)`
दिया है:
गुणोत्तर श्रेणी के 2n पदों का योगफल = 5 × [विषम स्थानों पर स्थित पदों का योगफल]
⇒ `("a"("r"^(2"n") - 1))/("r" - 1) = 5 xx ("a"[("r"^2)^"n" - 1])/("r"^2 - 1)`
या `("a"("r"^(2"n") - 1))/("r" - 1) = (5"a"("r"^(2"n") - 1))/("r"^2 - 1)`
`1 = 5/("r" + 1)`
या r + 1 = 5
या r = 5 - 1
या r = 4
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