Question

किसी गुणोत्तर श्रेणी के पदों की संख्या सम है। यदि उसके सभी पदों का योगफल, विषम स्थान पर रखे पदों के योगफल का 5 गुना है, तो सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।

Answer 1

मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद = a सार्व अनुपात = r और पदों की संख्या = 2n

सभी पदों का योगफल = `("a"("r"^(2"n") - 1))/("r" - 1)`

विषम स्थानों पर रखे पद a, ar², ar⁴, …. n पदों तक

इनका योग = a + ar² + ar² +…… n पदों तक

= `("a"[("r"^2)^"n" - 1])/("r"^2 - 1)`

= `("a"("r"^(2"n") - 1))/("r"^2 - 1)`

दिया है:

गुणोत्तर श्रेणी के 2n पदों का योगफल = 5 × [विषम स्थानों पर स्थित पदों का योगफल]

⇒ `("a"("r"^(2"n") - 1))/("r" - 1) = 5 xx ("a"[("r"^2)^"n" - 1])/("r"^2 - 1)`

या `("a"("r"^(2"n") - 1))/("r" - 1) = (5"a"("r"^(2"n") - 1))/("r"^2 - 1)`

`1 = 5/("r" + 1)`

या r + 1 = 5

या r = 5 - 1

या r = 4