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Question
किसी गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम तीन पदों का योगफल 16 है तथा अगले तीन पदों का योग 128 है तो गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद, सार्व अनुपात तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
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Solution
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी a, ar, ar2, …. है।
पहला पद = a, सार्व अनुपात = r
तीन पदों का योगफल = `("a"(1 - "r"^3))/(1 - "r") = 16` ...........(i)
चौथा पद = a × rn -1 = ar4-1 = ar3
अगले तीन पदों का योगफल = `("ar"^3(1 - "r"^3))/(1 - "r") = 128` ............(ii)
समीकरण (ii) को (i) से भाग देने पर,
`("ar"^3(1 - "r"^3))/(1 - "r") xx (1 - "r")/("a"(1 - "r"^3))`
= `128/16`
= 8
∴ r3 = 8 या r = 2
∴ समीकरण (i) में r का मान रखने पर
`("a"(1 - 8))/(1 - 2) = 16` या 7a = 16
∴ a = `16/7`
यहाँ r > 1
∴ Sn = `(16/7(2^"n" - 1))/(2 -1)`
= `16/7 (2^"n" - 1)`
अतः a = `16/7`, r = 2, Sn = `16/7(2"n" - 1)`
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