Question

किसी गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम तीन पदों का योगफल 16 है तथा अगले तीन पदों का योग 128 है तो गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद, सार्व अनुपात तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।

Answer 1

मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी a, ar, ar², …. है।

पहला पद = a, सार्व अनुपात = r

तीन पदों का योगफल = `("a"(1 - "r"^3))/(1 - "r") = 16` ...........(i)

चौथा पद = a × r^{n -1} = ar^4-1 = ar³ 

अगले तीन पदों का योगफल = `("ar"^3(1 - "r"^3))/(1 - "r") = 128` ............(ii)

समीकरण (ii) को (i) से भाग देने पर,

`("ar"^3(1 - "r"^3))/(1 - "r") xx (1 - "r")/("a"(1 - "r"^3))`

= `128/16`

= 8

∴ r³ = 8 या r = 2

∴ समीकरण (i) में r का मान रखने पर

`("a"(1 - 8))/(1 - 2) = 16` या 7a = 16

∴ a = `16/7`

यहाँ r > 1

∴ S_n = `(16/7(2^"n" - 1))/(2 -1)`

= `16/7 (2^"n" - 1)`

अतः a = `16/7`, r = 2, S_n = `16/7(2"n" - 1)`