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Question
यदि a, b, c समांतर श्रेणी में हैं b, c, d गुणोत्तर श्रेणी में हैं तथा `1/"c", 1/"d", 1/"e"` समांतर श्रेणी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि a, c, e गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
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Solution
a, b, c समांतर श्रेणी में हैं
∴ `("a" + "c")/2 = "b"` ...........(i)
b, c, d, गुणोत्तर श्रेणी में हैं,
∴ bd = c2 ............(ii)
`1/"c", 1/"d", 1/"e"` समांतर श्रेणी में हैं,
∴ `2/"d" = 1/"c" + 1/"e"`
⇒ d = `(2"ce")/("c" + "e")` ............(iii)
b और d का मान (i) और (iii) से लेकर (ii) में रखने पर
`"c"^2 = ("a" + "c")/2 xx (2"ce")/("c" + "e") = ("ce"("a" + "c"))/("c" + "e")`
या `"c" = ("e"("a" + "c"))/("c" + "e")`
या c(c + e) = ea + ec
या c2 + ce = ea + ec
⇒ c2 = ea
अतः a, c, e समांतर श्रेणी में हैं।
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