Question

सभी x, y ϵ N के लिए f(x + y) = f(x). f(y) को संतुष्ट करता हुआ f एक ऐसा फलन है कि f(1) = 3 एवं `sum_("x" = 1)^ "n"` f(x) = 120 तो n का मान ज्ञात करो।

Answer 1

यह दिया गया है कि,

f (x + y) = f (x) × f (y) सभी x, y ∈ N के लिए … (1)

f (1) = 3

(1) में x = y = 1 लेने पर, हम प्राप्त करते हैं

f (1 + 1) = f (2) = f (1) f (1) = 3 × 3 = 9

इसी प्रकार,

f (1 + 1 + 1) = f (3) = f (1 + 2) = f (1) f (2) = 3 × 9 = 27

f (4) = f (1 + 3) = f (1) f (3) = 3 × 27 = 81

∴ f (1), f (2), f (3), ..., अर्थात 3, 9, 27, ..., एक गुणोत्तर श्रेणी बनाता है। प्रथम पद और सार्व अनुपात दोनों 3 के समान है।

यह ज्ञात है कि, S_n = `(a(r^n - 1))/(r - 1)`

यह दिया गया है कि, `sum_(x = 1)^nf (x) = 120`

∴ `120 = (3(3^n - 1))/(3 - 1)`

= `120 = 3/2 (3^n - 1)`

= 3ⁿ - 1 = 80

= 3ⁿ - 1 = 81 = 3⁴

∴ इस प्रकार, n का मान 4 है।