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Question
बिंदुओं (−2, 3, 5) और (1, –4, 6) को मिलाने से बने रेखा खंड को अनुपात (i) 2 : 3 में अंतः (ii) 2 : 3 में बाह्यतः विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
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Solution
(i) माना बिंदु A(−2, 3, 5) और B(1, –4, 6) को मिलाने से बने रेखा खंड AB को P(x, y, z), अनुपात 2 : 3 में अंतः विभाजित करता हो, तब
बिंदु P के निर्देशांक इस प्रकार
x = `(2 xx 1 + 3 xx (-2))/(2 + 3) = (2 - 6)/5 = (-4)/5`
y = `(2 xx (-4) + 3 xx 3)/(2 + 3) = (-8 + 9)/5 = 1/5`
z = `(2 xx 6 + 3 xx 5)/(2 + 3) = (12 + 15)/5 = 27/5`
अतः बिंदु P के निर्देशांक `((-4)/5, 1/5, 27/5)`
(ii) जब बिंदु P(x, y, z) रेखाखंड AB के बाह्यतः विभाजित करता हो, तो निर्देशांक इस प्रकार होंगे
x = `(2 xx 1 - 3 xx (-2))/(2 - 3) = (2 + 6)/-1 = -8`
y = `(2 xx (-4) - 3 xx 3)/(2 - 3) = (-8 -9)/-1 = 17`
z = `(2 xx 6 - 3 xx 5)/(2 - 3) = (12 - 15)/-1 = 3`
अतः बिंदु P के निर्देशांक (−8, 17, 3) होंगे।
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P(-3, 7), Q(1, -4), a : b = 2 : 1
नीचे दिए गए उदाहरण में रेखाखंड PQ को a : b के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
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कृति: 
x = `(mx_2 + nx_1)/square`
∴ x = `(3 xx 8 + 1 xx 4)/(3 + 1)`
∴ x = `(square + 4)/4`
∴ x = `square`,
y = `square/(m + n)`
∴ y = `(3 xx 5 + 1 xx (-3))/(3 + 1)`
∴ y = `(square - 3)/4`
∴ y = `square`
