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प्रश्न
यदि x = ecos2t और y = esin2t तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (-y log x)/(xlogy)` है।
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उत्तर
दिया गया है कि: ecos2t और y = esin2t
⇒ cos 2t = log x और sin 2t = log y.
दोनों प्राचलिक फलनों को अलग करना w.r.t. t
`"dx"/"dt" = "e"^(cos2"t") * "d"/"dt" (cos 2"t")`
= `"e"^(cos 2"t") (- sin 2"t") * "d"/"dt" (2"t")`
= `- "e"^(cos2"t") * sin 2"t" * 2`
= `2"e"^(cos2"t") * sin 2"t"`
अब y = esin2t
`"dy"/"dt" = "e"^(sin2"t") * "d"/"dt"(sin 2"t")`
= `"e"^(sin2"t") * cos 2"t" * "d"/"dt"(2"t")`
= `"e"^(sin2"t") * cos 2"t" * 2`
= `2"e"^(sin2"t") * cos 2"t"`
∴ `"dy"/"dx" = ("dy"/"dt")/("dx"/"dt")`
= `(2"e"^(sin2"t") * cos2"t")/(-2"e"^(cos2"t") * sin 2"t")`
= `("e"^(sin2"t") * cos2"t")/(-"e"^(cos2"t") * sin2"t")`
= `(y cos 2"t")/(-x sin 2"t")`
= `(y log x)/(-x log y)` ......`[("क्योंकि" cos 2"t" = log x),(sin 2"t" = log y)]`
इसलिए, `"dy"/"dx" = - (y log x)/(x log y)`.
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प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
sin3 x + cos6 x
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x = 2 पर (x) = `{{:((2x^2 - 3x - 2)/(x - 2)",", "यदि" x ≠ 2),(5",", "यदिf" x = 2):}`
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x = 1 पर f(x) = |x| + |x − 1|
x = 0 पर f(x) = `{{:((sqrt(1 + "k"x) - sqrt(1 - "k"x))/x",", "यदि" -1 ≤ x < 0),((2x + 1)/(x - 1)",", "यदि" 0 ≤ x ≤ 1):}`
दर्शाइए कि फलन f(x) = |sin x + cos x| बिंदु x = π पर संतत है।
x = 0 पर, f(x) = `{{:(x^2 sin 1/x",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
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