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Question
यदि A = `[(1, 3, 2), (2, 0, -1), (1, 2, 3)]`, तो दिखाइए कि A समीकरण A3 - 4A2 - 3A + 11I = O को संतुष्ट करता है।
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Solution
A2 = A × A = `[(1, 3, 2),(2, 0, -1),(1, 2, 3)] xx [(1, 3, 2),(2, 0, -1),(1, 2, 3)]`
= `[(1 + 6 + 2, 3 + 0 + 4, 2 - 3 + 6),(2+ 0 - 1, 6 + 0 - 2, 4 + 0 - 3),(1 + 4 + 3, 3 + 0 + 6, 2 - 2 + 9)]`
= `[(9, 7, 5),(1, 4, 1),(8, 9, 9)]`
और A3 = A2 × A = `[(9, 7, 5),(1, 4, 1),(8, 9, 9)] xx [(1, 3, 2),(2, 0, -1),(1, 2, 3)]`
= `[(9 + 14 + 5, 27 + 0 + 10, 18 - 7 + 15),(1 + 8 + 1, 3 + 0 + 2, 2 - 4 + 3),(8 + 18 + 9, 24 + 0 + 18, 16 - 9 + 27)]`
= `[(28, 37, 26),(10, 5, 1),(35, 42, 34)]`
अब A3 – 4A2 – 3A + 11(I)
= `[(28, 37, 36),(10, 5, 1),(35, 42, 34)] -4[(9, 7, 5),(1, 4, 1),(8, 9, 9)] -3[(1, 3, 2),(2, 0, -1),(1, 2, 3)] +11[(1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)]`
= `[(28 - 36 - 3 + 11, 37 - 28 - 9 + 0, 26 - 20 - 6 + 0),(10 - 4 - 6 + 0, 5 - 16 + 0 + 11, 1 - 4 + 3 + 0),(35 - 32 - 3 + 0, 42 - 36 - 6 + 0, 34 + 36 - 9 + 11)]`
= `[(0, 0, 0),(0, 0, 0),(0, 0, 0)]` = O
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यदि A = `[(2, 3),(1, 2)]`, B = `[(1, 3, 2),(4, 3, 1)]`, C = `[(1),(2)]`, D = `[(4, 6, 8),(5, 7, 9)]`, हों तो A + B, B + C, C + D और B + D योगफलों में कौन से योगफल परिभाषित हैं।
यदि A और B समान कोटि के दो आव्यूह हैं, तो (A + B) (A – B) बराबर है।
यदि आव्यूह A = `[("a", 1, x),(2, sqrt(3), x^2 - y),(0, 5, (-2)/5)]`, तो A के अवयवों की संख्या लिखिए।
एक a2×2 आव्यूह की रचना कीजिए जिसके अवयव aij = |–2i + 3j| इस प्रकार से प्राप्त होते हैं।
यदि `[(4),(1),(3)]` A = `[(-4, 8,4),(-1, 2, 1),(-3, 6, 3)]` हो तो A ज्ञात कीजिए।
यदि x और y, 2 × 2 कोटि के आव्यूह हों, तो निम्नलिखित समीकरणों को X और Y के लिए हल कीजिए।
2X + 3Y = `[(2, 3),(4, 0)]`, 3Y + 2Y = `[(-2, 2),(1, -5)]`
यदि A = `[(3, 5)]`, B = `[(7, 3)]`, हों तो एक शून्येतर आव्यूह C ज्ञात कीजिए जो इस प्रकार हो कि AC = BC.
यदि A = `[(0, -1, 2),(4, 3, -4)]` और B = `[(4, 0),(1, 3),(2, 6)]`, हों तो सत्यापित कीजिए कि (A′)′ = A
सिद्ध कीजिए कि किसी भी आव्यूह A के लिए A′A तथा AA′ दोनों ही सममित आव्यूह हैं।
A = `[(0, 1, -1),(4, -3, 4),(3, -3, 4)]` के लिए सत्यापित कीजिए कि A2 = I
प्रारंभिक पंक्ति संक्रियाओं से निम्नलिखित आव्यूह का व्युत्क्रम (यदि संभव हो तो) ज्ञात कीजिए:
`[(1, -3),(-2, 6)]`
यदि A = `[(1, 5),(7, 12)]` और B `[(9, 1),(7, 8)]` हों तो एक ऐसा आव्यूह C ज्ञात कीजिए कि 3A + 5B + 2C एक शून्य आव्यूह हो।
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यदि A एक वर्ग आव्यूह है जो A2 = A को संतुष्ट करता है तो दिखाइए कि (I + A)2 = 7A + I
यदि A = `[(0, 2y, z),(x, y, -z),(x, -y, z)]` इस प्रकार हो कि A′ = A–1 तो x, y तथा z के मान ज्ञात कीजिए।
यदि संभव हो तो प्रांरभिक पंक्ति संक्रियाओं के प्रयोग से निम्मलिखित आव्यूह का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।
`[(2, -1, 3),(-5, 3, 1),(-3, 2, 3)]`
यदि A और B क्रमश: 3 × m और 3 × n, कोटि के दो आव्यूह हों तथा m = n, हो तो आव्यूह (5A - 2B) की कोटि होगी।
यदि आव्यूह A = [aij]2×2 इस प्रकार है कि aij `[:( 1 "यदि i" ≠ "j" ),( 0 "यदि i" ≠ "j" ):]` तब A2 बराबर है।
यदि A और B समान कोटि के आव्यूह हों तो (AB′–BA′)
______ आव्यूह दोनों ही सममित तथा विषम सममित आव्यूह हैं।
यदि A और B समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं तो (AB)′ = ______
यदि A और B सममित आव्यूह हैं तो BA – 2AB ______ है।
यदि A सममित आव्यूह है तो B′AB ______ है।
किसी भी कोटि के आव्यूहों को जोड़ा जा सकता है।
आव्यूहों का गुणन क्रम विनिमेय होता है।
यदि A और B दो समान कोटि के आव्यूह हैं तब A + B = B + A होता है।
यदि (AB)′ = B′ A′, जहाँ A और B वर्ग आव्यूह नहीं है तब A के पंक्तियों की संख्या B के स्तंभों की संख्या के बराबर होगी तथा A के स्तभों की संख्या B के पंक्तियों की संख्या के बराबर होगी।
(AB)–1 = A–1. B–1 जहाँ A और B व्यूत्क्रमणीय आव्यूह हैं जो गुणन के क्रम - विनिमेय नियम को संतुष्ट करते हैं।
