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Question
यदि x और y, 2 × 2 कोटि के आव्यूह हों, तो निम्नलिखित समीकरणों को X और Y के लिए हल कीजिए।
2X + 3Y = `[(2, 3),(4, 0)]`, 3Y + 2Y = `[(-2, 2),(1, -5)]`
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Solution
मान लें कि,
2X + 3Y = `[(2, 3),(4, 0)]` ......(1)
3Y + 2Y = `[(-2, 2),(1, -5)]` ......(2)
समीकरण (1) से 3 और समीकरण (2) को 2 से गुणा करना हम प्राप्त करते हैं,
3[2X + 3Y] = `3[(2, 3),(4, 0)]`
⇒ 6X + 9Y = `[(6, 9),(12, 0)]` ....(3)
2[3X + 2Y] = `2[(-2, 2),(1, -5)]`
⇒ 6X + 4Y = `[(-4, 4),(2, -10)]` .....(4)
समीकरण को घटाने पर (4) समीकरण से (3) हमें मिलता है
5Y = `[(6 + 4, 9 - 4),(12 - 2, 0 + 10)]`
5Y = `[(10, 5),(10, 10)]`
⇒ Y = `[(2, 1),(2, 2)]`
अब, समीकरण में y का मान डालते हुए (1) हमें मिलता है,
`2"X" + 3 [(2, 1),(2, 2)] = [(2, 3),(4, 0)]`
⇒ `2"X" + [(6, 3),(6, 60)] = [(2, 3),(4, 0)]`
⇒ 2X = `[(2, 3),(4, 0)] - [(6, 3),(6, 6)]`
⇒ 2X = `[(2 - 6, 3 - 3),(4 - 6, 0 - 6)]`
⇒ 2X = `[(-4,0),(-2, -6)]`
⇒ = `1/2 [(-4, 0),(-2, -6)]`
⇒ X = `[(-2, 0),(-1, -3)]`
इसलिए, X = `[(-2, 0),(-1, -3)]` और Y = `[(2, 1),(2, 2)]`
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एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह A के लिए, (A′)-1 = (A-1)′
यदि आव्यूह A = `[("a", 1, x),(2, sqrt(3), x^2 - y),(0, 5, (-2)/5)]`, तो A की कोटि लिखिए।
यदि A = B हों तो a और b के मान ज्ञात कीजिए, जहाँ A = `[("a" + 4, 3"b"),(8, -6)]` और B = `[(2"a" + 2, "b"^2 + 2),(8, "b"^2 - 5"b")]` हैं।
यदि `[(4),(1),(3)]` A = `[(-4, 8,4),(-1, 2, 1),(-3, 6, 3)]` हो तो A ज्ञात कीजिए।
यदि a = `[(1, 2), ( -2, 1)]`, b = `[(2, 3), (3, -4)]` और c = `[(1, 0), ( -1, 0)] `, हों तो सत्यापित कीजिए: (AB) C = A (BC)
यदि A = `[(0, -1, 2),(4, 3, -4)]` और B = `[(4, 0),(1, 3),(2, 6)]`, हों तो सत्यापित कीजिए कि (kA)' = (kA')
यदि A = `[(1, 2),(-1, 3)]`, B = `[(4, 0),(1, 5)]`, C = `[(2, 0),(1, -2)]` तथा a = 4, b = –2 हों तो दिखाइए कि A (BC) = (AB) C
यदि A = `[(1, 2),(-1, 3)]`, B = `[(4, 0),(1, 5)]`, C = `[(2, 0),(1, -2)]` तथा a = 4, b = –2 हों तो दिखाइए कि (A – B) C = AC – BC
प्रारंभिक पंक्ति संक्रियाओं से निम्नलिखित आव्यूह का व्युत्क्रम (यदि संभव हो तो) ज्ञात कीजिए:
`[(1, -3),(-2, 6)]`
यदि `3[("a", "b"),("c", "d")] = [("a", 6),(-1, 2"d")] + [(4, "a" + "b"),("c" + "d", 3)]` हो तो a, b, c और d के मान ज्ञात कीजिए।
यदि A = `[(1, 2),(4, 1)]` हो तो A2 + 2A + 7I ज्ञात कीजिए।
यदि A एक वर्ग आव्यूह है जो A2 = A को संतुष्ट करता है तो दिखाइए कि (I + A)2 = 7A + I
यदि संभव हो तो प्रांरभिक पंक्ति संक्रियाओं के प्रयोग से निम्मलिखित आव्यूह का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।
`[(2, 0, -1),(5, 1, 0),(0, 1, 3)]`
आव्यूह `[(2, 3, 1),(1, -1, 2),(4, 1, 2)]` को एक सममित तथा एक विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में लिखिए।
कोटि 3 × 3 के सभी संभव आव्यूहों की संख्या जिनकी प्रत्येक प्रविष्ठि 2 या 0 हो, होगी।
यदि A और B क्रमश: 3 × m और 3 × n, कोटि के दो आव्यूह हों तथा m = n, हो तो आव्यूह (5A - 2B) की कोटि होगी।
आव्यूह `[ (1, 0, 0 ), ( 0, 2, 0), (0, 0, 4 )]` एक
किसी आव्यूह को एक अदिश ______ से गुणा करने पर शून्य आव्यूह प्राप्त होता है।
एक आव्यूह जो आवश्यक नहीं कि वर्ग आव्यूह हो एक ______ आव्यूह कहलाता है।
यदि A एक विषम सममित आव्यूह है तो A2 एक ______ है।
यदि A विषम सममित आव्यूह है तो kA (k कोई अदिश है) एक ______ है।
एक आव्यूह एक संख्या को निरूपित करता है।
यदि A और B दो समान कोटि के आव्यूह हैं तब A + B = B + A होता है।
यदि A और B दो समान कोटि के आव्यूह हैं तो A - B = B - A होता है।
यदि A और B समान कोटि के कोई दो आव्यूह हैं तब (AB)′ = A′B′
यदि A, B और C समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं तब AB = AC से सदैव B = C प्राप्त होता है।
यदि A विषम सममित आव्यूह है तो A2 सममित आव्यूह होगा।
