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Question
फलन f, के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
f(x) = `{(2x", यदि" x < 0),(0", यदि" 0 <= x <= 1),(4x", यदि" x > 1):}`
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Solution
f(x) = `{(2x", यदि" x < 0),(0", यदि" 0 <= x <= 1),(4x", यदि" x > 1):}`
x < 0, के लिए f(x) = 2x;
0 < x < 1, f(x) = 0 तथा
x > 1, f(x) = 4x एक बहुपद और सतत फलन है।
इसलिए यह फलन है।
x = 0 पर,
`lim_(x -> 0^-)` f(x) = `lim_(x -> 0^-)` (2x)
= `lim_(h -> 0)` [2(0 − h)]
= `lim_(h -> 0)` (−2h)
= −2 × 0
= 0
`lim_(x -> 0^+)` f(x) = `lim_(x -> 0^+)` (0) = 0
अत: x = 0 पर f संतत है।
x = 1 पर,
`lim_(x -> 1^-)` f(x) = `lim_(x -> 1^-)` (0) = 0
`lim_(x -> 1^+)` f(x) = `lim_(x -> 1^+)` (4x)
= `lim_(h -> 0)` [4(1 + h)]
= `lim_(h -> 0)` (4 + 4h)
= 4 + 4 × 0
= 4
अत: x = 1 पर संतत नहीं है।
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