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Question
cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए।
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Solution
(i) f(x) = cos (x)
मान लीजिए c कोई वास्तविक संख्या है।
यदि f(x), x = c पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
f(c) = `lim_(x -> c^+)` f(x) = `lim_(x -> c^-)` f(x)
⇒ (cos c) = (cos c) = (cos c)
यह कथन सत्य है; अर्थात्, f(x) वास्तविक संख्या रेखा पर प्रत्येक बिंदु पर संतत है।
(ii) f(x) = cosec (x)
मान लीजिए c कोई वास्तविक संख्या है।
यदि f(x), x = c पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
f(c) = `lim_(x ->^+)` f(x) = `lim_(x -> c^-)` f(x)
⇒ (cosec c) = (cosec c) = (cosec c)
यह कथन सत्य है; अर्थात्, f(x) वास्तविक संख्या रेखा पर प्रत्येक बिंदु पर संतत है।
(iii) f(x) = sec (x)
मान लीजिए c कोई वास्तविक संख्या है।
यदि f(x), x = c पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
f(c) = `lim_(x -> c^+)` f(x) = `lim_(x -> c^-)` f(x)
⇒ (sec c) = (sec c) = (sec c)
यह कथन सत्य है; अर्थात्, f(x) वास्तविक संख्या रेखा पर प्रत्येक बिंदु पर संतत है।
(iv) f(x) = cot (x)
मान लीजिए c कोई वास्तविक संख्या है जिससे (n − 1)π < x < nπ, जहाँ n एक पूर्णांक बिंदु को दर्शाता है।
यदि f(x), x = c पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
f(c) = `lim_(x -> c^+)` f(x) = `lim_(x -> c^-)` f(x)
⇒ (cot c) = (cot c) = (cot c)
यह कथन सत्य है; अर्थात्, f(x) वास्तविक संख्या रेखा पर (n − 1)π और nπ के बीच प्रत्येक बिंदु पर संतत है।
अब यदि हम c पर विचार करें जिससे c = nπ, जहाँ n एक पूर्णांक बिंदु को दर्शाता है, तो:
यदि f(x), x = c पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
f(c) = `lim_(x -> c^+)` f(x) = `lim_(x -> c^-)` f(x)
⇒ ±∞ = ±∞ = ±∞
अर्थात्, f(x) वास्तविक संख्या रेखा पर nπ-प्रकार के बिंदुओं को छोड़कर प्रत्येक बिंदु पर संतत है।
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