Advertisements
Advertisements
प्रश्न
cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए।
Advertisements
उत्तर
(i) f(x) = cos (x)
मान लीजिए c कोई वास्तविक संख्या है।
यदि f(x), x = c पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
f(c) = `lim_(x -> c^+)` f(x) = `lim_(x -> c^-)` f(x)
⇒ (cos c) = (cos c) = (cos c)
यह कथन सत्य है; अर्थात्, f(x) वास्तविक संख्या रेखा पर प्रत्येक बिंदु पर संतत है।
(ii) f(x) = cosec (x)
मान लीजिए c कोई वास्तविक संख्या है।
यदि f(x), x = c पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
f(c) = `lim_(x ->^+)` f(x) = `lim_(x -> c^-)` f(x)
⇒ (cosec c) = (cosec c) = (cosec c)
यह कथन सत्य है; अर्थात्, f(x) वास्तविक संख्या रेखा पर प्रत्येक बिंदु पर संतत है।
(iii) f(x) = sec (x)
मान लीजिए c कोई वास्तविक संख्या है।
यदि f(x), x = c पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
f(c) = `lim_(x -> c^+)` f(x) = `lim_(x -> c^-)` f(x)
⇒ (sec c) = (sec c) = (sec c)
यह कथन सत्य है; अर्थात्, f(x) वास्तविक संख्या रेखा पर प्रत्येक बिंदु पर संतत है।
(iv) f(x) = cot (x)
मान लीजिए c कोई वास्तविक संख्या है जिससे (n − 1)π < x < nπ, जहाँ n एक पूर्णांक बिंदु को दर्शाता है।
यदि f(x), x = c पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
f(c) = `lim_(x -> c^+)` f(x) = `lim_(x -> c^-)` f(x)
⇒ (cot c) = (cot c) = (cot c)
यह कथन सत्य है; अर्थात्, f(x) वास्तविक संख्या रेखा पर (n − 1)π और nπ के बीच प्रत्येक बिंदु पर संतत है।
अब यदि हम c पर विचार करें जिससे c = nπ, जहाँ n एक पूर्णांक बिंदु को दर्शाता है, तो:
यदि f(x), x = c पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
f(c) = `lim_(x -> c^+)` f(x) = `lim_(x -> c^-)` f(x)
⇒ ±∞ = ±∞ = ±∞
अर्थात्, f(x) वास्तविक संख्या रेखा पर nπ-प्रकार के बिंदुओं को छोड़कर प्रत्येक बिंदु पर संतत है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
x = 3 पर फलन f(x) = 2x2 – 1 के सांतत्य की जाँच कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = xn, x = n, पर संतत है, जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
निम्नलिखित फलन की सांतत्य की जाँच कीजिए:
f(x) = `1/(x - 5)`, x ≠ 5
निम्नलिखित फलन की सांतत्य की जाँच कीजिए:
f(x) = `(x^2 - 25)/(x + 5)`, x ≠ −5
निम्नलिखित फलन की सांतत्य की जाँच कीजिए:
f(x) = |x – 5|
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(2x + 3", यदि" x<=2),(2x - 3", यदि" x > 2):}`
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(|x|+3", यदि" x<= -3),(-2x", यदि" -3 < x < 3),(6x + 2", यदि" x >= 3):}`
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(|x|/x", यदि" x != 0),(0", यदि" x = 0):}`
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(x/|x|", यदि" x<0),(-1", यदि" x >= 0):}`
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(x^3 - 3", यदि" x <= 2),(x^2 + 1", यदि" x > 2):}`
फलन f के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
f(x) = `{(3", यदि" 0 <= x <= 1),(4", यदि" 1 < x < 3),(5", यदि" 3 <= x <= 10):}`
λ के किस मान के लिए f(x) = `{(λ(x^2 - 2x)", यदि" x le 0), (4x + 1", यदि" x > 0):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 0 पर संतत है। x = 1 पर इसके सांतत्य पर विचार कीजिए।
दर्शाइए कि g(x) = x − [x] द्वारा परिभाषित फलन समस्त पूर्णांक बिंदुओं पर असंतत है। यहाँ [x] उस महत्तम पूर्णाक निरूपित करता है, जो x के बराबर या x से कम है।
निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए:
f(x) = sin x – cos x
निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए:
f(x) = sin x × cos x
k का मान ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
f(x) = `{((kcosx)/(pi-2x)", यदि" x != pi/2),(3", यदि" x = pi/2):}` द्वारा परिभाषित फलन x = `pi/2` पर
k का मान ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
f(x) = `{(kx +1", यदि" x<= pi),(cos x", यदि" x > pi):}` द्वारा परिभाषित फलन x = π पर
दर्शाइए कि f(x) = |cos x| द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
जाँचिए कि क्या sin |x| एक संतत फलन है।
यदि y = `sin^-1 x + sin^-1 sqrt (1 - x^2)`, 0 < x < 1 है तो `dy/dx` ज्ञात कीजिए।
यदि −1 < x < 1 के लिए `xsqrt(1 + y) + y sqrt(1 + x) = 0` है तो सिद्ध कीजिए की `dy/dx = - 1/(1 + x)^2`।
