Advertisements
Advertisements
प्रश्न
cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए।
Advertisements
उत्तर
(i) f(x) = cos (x)
मान लीजिए c कोई वास्तविक संख्या है।
यदि f(x), x = c पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
f(c) = `lim_(x -> c^+)` f(x) = `lim_(x -> c^-)` f(x)
⇒ (cos c) = (cos c) = (cos c)
यह कथन सत्य है; अर्थात्, f(x) वास्तविक संख्या रेखा पर प्रत्येक बिंदु पर संतत है।
(ii) f(x) = cosec (x)
मान लीजिए c कोई वास्तविक संख्या है।
यदि f(x), x = c पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
f(c) = `lim_(x ->^+)` f(x) = `lim_(x -> c^-)` f(x)
⇒ (cosec c) = (cosec c) = (cosec c)
यह कथन सत्य है; अर्थात्, f(x) वास्तविक संख्या रेखा पर प्रत्येक बिंदु पर संतत है।
(iii) f(x) = sec (x)
मान लीजिए c कोई वास्तविक संख्या है।
यदि f(x), x = c पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
f(c) = `lim_(x -> c^+)` f(x) = `lim_(x -> c^-)` f(x)
⇒ (sec c) = (sec c) = (sec c)
यह कथन सत्य है; अर्थात्, f(x) वास्तविक संख्या रेखा पर प्रत्येक बिंदु पर संतत है।
(iv) f(x) = cot (x)
मान लीजिए c कोई वास्तविक संख्या है जिससे (n − 1)π < x < nπ, जहाँ n एक पूर्णांक बिंदु को दर्शाता है।
यदि f(x), x = c पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
f(c) = `lim_(x -> c^+)` f(x) = `lim_(x -> c^-)` f(x)
⇒ (cot c) = (cot c) = (cot c)
यह कथन सत्य है; अर्थात्, f(x) वास्तविक संख्या रेखा पर (n − 1)π और nπ के बीच प्रत्येक बिंदु पर संतत है।
अब यदि हम c पर विचार करें जिससे c = nπ, जहाँ n एक पूर्णांक बिंदु को दर्शाता है, तो:
यदि f(x), x = c पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
f(c) = `lim_(x -> c^+)` f(x) = `lim_(x -> c^-)` f(x)
⇒ ±∞ = ±∞ = ±∞
अर्थात्, f(x) वास्तविक संख्या रेखा पर nπ-प्रकार के बिंदुओं को छोड़कर प्रत्येक बिंदु पर संतत है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 5x − 3, x = 0, x = −3 तथा x = 5 पर संतत है।
x = 3 पर फलन f(x) = 2x2 – 1 के सांतत्य की जाँच कीजिए।
निम्नलिखित फलन की सांतत्य की जाँच कीजिए:
f(x) = x – 5
निम्नलिखित फलन की सांतत्य की जाँच कीजिए:
f(x) = `1/(x - 5)`, x ≠ 5
निम्नलिखित फलन की सांतत्य की जाँच कीजिए:
f(x) = `(x^2 - 25)/(x + 5)`, x ≠ −5
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(2x + 3", यदि" x<=2),(2x - 3", यदि" x > 2):}`
क्या f(x) = `{(x", यदि" x<=1),(5", यदि" x > 1):}` द्वारा परिभाषित फलन f, x = 0, x = 1 तथा x = 2 पर संतत है?
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(|x|+3", यदि" x<= -3),(-2x", यदि" -3 < x < 3),(6x + 2", यदि" x >= 3):}`
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(x^3 - 3", यदि" x <= 2),(x^2 + 1", यदि" x > 2):}`
f के असांतत्य के बिंदु को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(x^10 - 1", यदि" x<=1),(x^2", यदि" x > 1):}`
क्या f(x) = `{(x+5", यदि" x<=1),(x - 5", यदि" x > 1):}` द्वारा परिभाषित फलन, एक संतत फलन है?
फलन f के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
f(x) = `{(3", यदि" 0 <= x <= 1),(4", यदि" 1 < x < 3),(5", यदि" 3 <= x <= 10):}`
फलन f, के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
f(x) = `{(-2", यदि" x <= -1),(2x", यदि" -1 < x <= 1),(2", यदि" x > 1):}`
a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए। जिनके लिए f(x) = `{(ax + 1", यदि" x<= 3),(bx + 3", यदि" x > 3):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर संतत है।
λ के किस मान के लिए f(x) = `{(λ(x^2 - 2x)", यदि" x le 0), (4x + 1", यदि" x > 0):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 0 पर संतत है। x = 1 पर इसके सांतत्य पर विचार कीजिए।
निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए:
f(x) = sin x + cos x
निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए:
f(x) = sin x – cos x
f के सांतत्य की जाँच कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(sin x - cos x", यदि" x != 0),(-1", यदि" x = 0):}`
k का मान ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
f(x) = `{(kx^2", यदि" x<= 2),(3", यदि" x > 2):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 2 पर
k का मान ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
f(x) = `{(kx +1", यदि" x<= pi),(cos x", यदि" x > pi):}` द्वारा परिभाषित फलन x = π पर
दर्शाइए कि f(x) = |cos x| द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
f(x) = |x| − |x + 1| द्वारा परिभाषित फलन f के सभी असांत्यता के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।
यदि x = a (cos t + t sin t) और y = a (sin t – t cos t) है तो `(d^2y)/dx^2` ज्ञात कीजिए।
