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प्रश्न
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(x^3 - 3", यदि" x <= 2),(x^2 + 1", यदि" x > 2):}`
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उत्तर
f(x) = `{(x^3 - 3", यदि" x <= 2),(x^2 + 1", यदि" x > 2):}`
x < 2 के लिए, f(x) = x3 − 3 तथा
x > 2, f(x) = x2 + 1 एक बहुपद फलन है।
इसलिए यह फलन है।
x = 2 पर,
`lim_(x -> 2^-)` f(x) = `lim_(x -> 2^-)` (x3 − 3)
= `lim_(h -> 0)` [(2 − h)3 − 3]
= `lim_(h -> 0)` [8 − h3 − 12h + 6h2 − 3]
= `lim_(h -> 0)` (5 − h3 − 12h + 6h2)
= 5
`lim_(x -> 2^+)` f(x) = `lim_(x -> 2^+)` (x2 + 1)
= `lim_(h -> 0)` [(2 + h)2 + 1]
= `lim_(h -> 0)` (4 + h2 + 4h + 1)
= `lim_(h -> 0)` (5 + h2 + 4h)
= 5
f(2) = (2)3 − 3
= 8 − 3
= 5
अत: x = 2 पर f फलन है।
यहाँ कोई असांतत्य के बिंदु नहीं है।
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