Advertisements
Advertisements
Question
निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए:
f(x) = sin x × cos x
Advertisements
Solution
मान लीजिए a एक मनमाना वास्तविक संख्या है।
∴ f(a) = sin a × cos a
`lim_(x->a^+)` f(x) = `lim_(h->0)` [sin (a + h) cos (a + h)]
= `lim_(h->a^+)` [(sin a cos h + cos a sin h) (cos a cos h − sin a sin h)]
= sin a cos a
`lim_(x->a^-)` f(x) = `lim_(h->0)` [sin(a − h) cos (a − h)]
= `lim_(h->0)` [(sin a cos h − cos a sin h) (cos a cos h + sin a sin h)]
= sin a cos a
∴ `lim_(x->a^-)` f(x) = `lim_(x->a^+)` f(x) = f(a)
⇒ f(x) x = a पर संतत है।
∴ f(x) = sin x × cos x सर्वत्र संतत है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
x = 3 पर फलन f(x) = 2x2 – 1 के सांतत्य की जाँच कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = xn, x = n, पर संतत है, जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
निम्नलिखित फलन की सांतत्य की जाँच कीजिए:
f(x) = |x – 5|
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(|x|/x", यदि" x != 0),(0", यदि" x = 0):}`
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(x^3 - 3", यदि" x <= 2),(x^2 + 1", यदि" x > 2):}`
फलन f, के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
f(x) = `{(2x", यदि" x < 0),(0", यदि" 0 <= x <= 1),(4x", यदि" x > 1):}`
फलन f, के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
f(x) = `{(-2", यदि" x <= -1),(2x", यदि" -1 < x <= 1),(2", यदि" x > 1):}`
λ के किस मान के लिए f(x) = `{(λ(x^2 - 2x)", यदि" x le 0), (4x + 1", यदि" x > 0):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 0 पर संतत है। x = 1 पर इसके सांतत्य पर विचार कीजिए।
निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए:
f(x) = sin x + cos x
निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए:
f(x) = sin x – cos x
f के सभी असांतत्यता के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ f(x) = `{(sinx/x", यदि" x < 0),(x + 1", यदि" x >= 0):}`।
निर्धारित कीजिए कि फलन f, f(x) = `{(x^2 sin 1/x", यदि" x != 0),(0", यदि" x = 0):}` द्वारा परिभाषित एक संतत फलन है।
k का मान ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
f(x) = `{((kcosx)/(pi-2x)", यदि" x != pi/2),(3", यदि" x = pi/2):}` द्वारा परिभाषित फलन x = `pi/2` पर
k का मान ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
f(x) = `{(kx + 1", यदि" x <= 5),(3x - 5", यदि" x > 5):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 5 पर
दर्शाइए कि f(x) = cos (x2) द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
दर्शाइए कि f(x) = |cos x| द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
जाँचिए कि क्या sin |x| एक संतत फलन है।
यदि y = `sin^-1 x + sin^-1 sqrt (1 - x^2)`, 0 < x < 1 है तो `dy/dx` ज्ञात कीजिए।
यदि x = a (cos t + t sin t) और y = a (sin t – t cos t) है तो `(d^2y)/dx^2` ज्ञात कीजिए।
