Advertisements
Advertisements
Question
दर्शाइए कि f(x) = cos (x2) द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
Advertisements
Solution
मान लीजिए f(x) = cos(x2)
f का प्रांत = R
मान लीजिए a कोई भी मनमाना वास्तविक संख्या है।
`lim_(x->a^-)` f(x) = `lim_(h->0)` cos (a − h)2 = cos a2
`lim_(x->a^+)` f(x) = `lim_(h->0)` cos (a + h)2 = cos a
साथ ही f(a) = cos a2
इस प्रकार, `lim_(x->a^-)` f(x) = `lim_(x->a^+)` f(x) = f(a) ∀ a ∈ R
∴ f(x) = cos (x2) a ∀ a ∈ R पर संतत है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = xn, x = n, पर संतत है, जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
निम्नलिखित फलन की सांतत्य की जाँच कीजिए:
f(x) = `1/(x - 5)`, x ≠ 5
निम्नलिखित फलन की सांतत्य की जाँच कीजिए:
f(x) = `(x^2 - 25)/(x + 5)`, x ≠ −5
निम्नलिखित फलन की सांतत्य की जाँच कीजिए:
f(x) = |x – 5|
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(2x + 3", यदि" x<=2),(2x - 3", यदि" x > 2):}`
क्या f(x) = `{(x", यदि" x<=1),(5", यदि" x > 1):}` द्वारा परिभाषित फलन f, x = 0, x = 1 तथा x = 2 पर संतत है?
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(|x|+3", यदि" x<= -3),(-2x", यदि" -3 < x < 3),(6x + 2", यदि" x >= 3):}`
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(|x|/x", यदि" x != 0),(0", यदि" x = 0):}`
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(x^3 - 3", यदि" x <= 2),(x^2 + 1", यदि" x > 2):}`
f के असांतत्य के बिंदु को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(x^10 - 1", यदि" x<=1),(x^2", यदि" x > 1):}`
क्या f(x) = `{(x+5", यदि" x<=1),(x - 5", यदि" x > 1):}` द्वारा परिभाषित फलन, एक संतत फलन है?
फलन f, के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
f(x) = `{(-2", यदि" x <= -1),(2x", यदि" -1 < x <= 1),(2", यदि" x > 1):}`
a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए। जिनके लिए f(x) = `{(ax + 1", यदि" x<= 3),(bx + 3", यदि" x > 3):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर संतत है।
λ के किस मान के लिए f(x) = `{(λ(x^2 - 2x)", यदि" x le 0), (4x + 1", यदि" x > 0):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 0 पर संतत है। x = 1 पर इसके सांतत्य पर विचार कीजिए।
निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए:
f(x) = sin x – cos x
निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए:
f(x) = sin x × cos x
f के सभी असांतत्यता के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ f(x) = `{(sinx/x", यदि" x < 0),(x + 1", यदि" x >= 0):}`।
निर्धारित कीजिए कि फलन f, f(x) = `{(x^2 sin 1/x", यदि" x != 0),(0", यदि" x = 0):}` द्वारा परिभाषित एक संतत फलन है।
f के सांतत्य की जाँच कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(sin x - cos x", यदि" x != 0),(-1", यदि" x = 0):}`
k का मान ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
f(x) = `{((kcosx)/(pi-2x)", यदि" x != pi/2),(3", यदि" x = pi/2):}` द्वारा परिभाषित फलन x = `pi/2` पर
k का मान ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
f(x) = `{(kx +1", यदि" x<= pi),(cos x", यदि" x > pi):}` द्वारा परिभाषित फलन x = π पर
k का मान ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
f(x) = `{(kx + 1", यदि" x <= 5),(3x - 5", यदि" x > 5):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 5 पर
a तथा b के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि f(x) = `{(5", यदि" x <= 2),(ax +b", यदि" 2 < x < 10),(21", यदि" x >= 10):}` द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन हो।
दर्शाइए कि f(x) = |cos x| द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
जाँचिए कि क्या sin |x| एक संतत फलन है।
यदि −1 < x < 1 के लिए `xsqrt(1 + y) + y sqrt(1 + x) = 0` है तो सिद्ध कीजिए की `dy/dx = - 1/(1 + x)^2`।
