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Question
λ के किस मान के लिए f(x) = `{(λ(x^2 - 2x)", यदि" x le 0), (4x + 1", यदि" x > 0):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 0 पर संतत है। x = 1 पर इसके सांतत्य पर विचार कीजिए।
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Solution
f(x) = `{(λ(x^2 - 2x)", यदि" x le 0), (4x + 1", यदि" x > 0):}`
यदि f(x), x = 0 पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
f(0) = `lim_(x -> 0^+)` f(x) = `lim_(x -> 0^-)` f(x)
⇒ [02 − 2(0)] = [4(0) + 1] = [02 − 2(0)]
⇒ 0 = 1 = 0
जो सत्य नहीं हो सकता अर्थात λ की किसी भी मात्रा के लिए यह फलन x = 0 पर संतत नहीं है।
यदि f(x), x = 1 पर संतत है, इसका तात्पर्य होगा:
f(1) = `lim_(x -> 1^+)` f (x) = `lim_(x -> 1^-)` f(x)
⇒ 4(1) + 1 = 4(1) + 1 = 4(1) + 1
⇒ 5 = 5 = 5
जो हमेशा सत्य है, अर्थात λ की किसी भी मात्रा के लिए यह फलन x = 1 पर संतत है।
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