Advertisements
Advertisements
Question
यदि −1 < x < 1 के लिए `xsqrt(1 + y) + y sqrt(1 + x) = 0` है तो सिद्ध कीजिए की `dy/dx = - 1/(1 + x)^2`।
Advertisements
Solution
`x sqrt(1 + y) + y sqrt(1 + x) = 0`
∴ `xsqrt(1 + y) = - y sqrt(1 + x) = 0`
दोनों तरफ वर्ग करने पर,
x2 (1 + y) = y2 (1 + x)
⇒ x2 + x2y = y2 + y2x
⇒ x2 – y2 – y2x + x2y = 0
⇒ (x – y)(x + y) + xy(x – y) = 0
⇒ (x – y)[x + y + xy] = 0
x – y = 0 ⇒ x ≠ y
x + y (1 + x) = 0
∴ y = `-x/(1 - x)`
∴ `dy/dx = ((1 + x)(1) - x * 1)/(1 + x)^2`
= `-(1 + x - x)/(1 + x)^2`
= `-1/(1 + x)^2`
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 5x − 3, x = 0, x = −3 तथा x = 5 पर संतत है।
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = xn, x = n, पर संतत है, जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
निम्नलिखित फलन की सांतत्य की जाँच कीजिए:
f(x) = x – 5
निम्नलिखित फलन की सांतत्य की जाँच कीजिए:
f(x) = `1/(x - 5)`, x ≠ 5
निम्नलिखित फलन की सांतत्य की जाँच कीजिए:
f(x) = `(x^2 - 25)/(x + 5)`, x ≠ −5
निम्नलिखित फलन की सांतत्य की जाँच कीजिए:
f(x) = |x – 5|
क्या f(x) = `{(x", यदि" x<=1),(5", यदि" x > 1):}` द्वारा परिभाषित फलन f, x = 0, x = 1 तथा x = 2 पर संतत है?
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(|x|+3", यदि" x<= -3),(-2x", यदि" -3 < x < 3),(6x + 2", यदि" x >= 3):}`
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(|x|/x", यदि" x != 0),(0", यदि" x = 0):}`
फलन f के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
f(x) = `{(3", यदि" 0 <= x <= 1),(4", यदि" 1 < x < 3),(5", यदि" 3 <= x <= 10):}`
फलन f, के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
f(x) = `{(2x", यदि" x < 0),(0", यदि" 0 <= x <= 1),(4x", यदि" x > 1):}`
फलन f, के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
f(x) = `{(-2", यदि" x <= -1),(2x", यदि" -1 < x <= 1),(2", यदि" x > 1):}`
a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए। जिनके लिए f(x) = `{(ax + 1", यदि" x<= 3),(bx + 3", यदि" x > 3):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर संतत है।
λ के किस मान के लिए f(x) = `{(λ(x^2 - 2x)", यदि" x le 0), (4x + 1", यदि" x > 0):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 0 पर संतत है। x = 1 पर इसके सांतत्य पर विचार कीजिए।
दर्शाइए कि g(x) = x − [x] द्वारा परिभाषित फलन समस्त पूर्णांक बिंदुओं पर असंतत है। यहाँ [x] उस महत्तम पूर्णाक निरूपित करता है, जो x के बराबर या x से कम है।
निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए:
f(x) = sin x – cos x
निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए:
f(x) = sin x × cos x
cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए।
f के सभी असांतत्यता के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ f(x) = `{(sinx/x", यदि" x < 0),(x + 1", यदि" x >= 0):}`।
निर्धारित कीजिए कि फलन f, f(x) = `{(x^2 sin 1/x", यदि" x != 0),(0", यदि" x = 0):}` द्वारा परिभाषित एक संतत फलन है।
k का मान ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
f(x) = `{((kcosx)/(pi-2x)", यदि" x != pi/2),(3", यदि" x = pi/2):}` द्वारा परिभाषित फलन x = `pi/2` पर
k का मान ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
f(x) = `{(kx + 1", यदि" x <= 5),(3x - 5", यदि" x > 5):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 5 पर
a तथा b के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि f(x) = `{(5", यदि" x <= 2),(ax +b", यदि" 2 < x < 10),(21", यदि" x >= 10):}` द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन हो।
दर्शाइए कि f(x) = cos (x2) द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
यदि y = `sin^-1 x + sin^-1 sqrt (1 - x^2)`, 0 < x < 1 है तो `dy/dx` ज्ञात कीजिए।
यदि x = a (cos t + t sin t) और y = a (sin t – t cos t) है तो `(d^2y)/dx^2` ज्ञात कीजिए।
