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प्रश्न
यदि P(x) = `[(cosx, sinx),(-sinx, cosx)]`, हो तो दिखाइए कि P(x) . (y) = P(x + y) = P(y) . P(x)
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उत्तर
हमारे पास, P(x) = `[(cosx, six),(-sinx, cosx)]`
∴ P(y) = `[(cosy, siny),(-siny, cosy)]`
अब,
P(x) . P(y) = `[(cosx, sinx),(-sinx, cosx)] [(cosy, siny),(-siny, cosy)]`
= `[(cosx * cosy - sinx * siny, cosx * siny + sinx * cosy),(-sinx * cosy - cosx * siny, -sinx * siny + cosx * cosy)]`
= `[(cos(x + y), sin(x + y)),(-sin(x + y), cos(x + y))]`
= P(x + y) ......(i)
भी,
P(y) . P(x) = `[(cosy, siny),(-siny, cos y)] [(cosx, sinx),(-sinx, cosx)]`
= `[(cosy * cosx - siny * sinx, cosy * sinx + siny * cosx),(-siny * cosx - sinx * cosy, -siny * sinx + cosy * cosx)]`
= `[(cos(x + y), sin(x + y)),(-sin(x + y), cos(x + y))]` .....(ii)
इस प्रकार, (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं
P(x) . (y) = P(x + y) = P(y) . P(x)
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यदि A = `[(2, -1, 3),(-4, 5, 1)]` और B = `[(2, 3),(4, -2),(1, 5)]` तब
आव्यूह A = `[(0, 0, 5),(0, 5, 0),(5, 0, 0)]` है।
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x तथा y के लिए हल कीजिए।
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यदि a = `[(1, 2), ( -2, 1)]`, b = `[(2, 3), (3, -4)]` और c = `[(1, 0), ( -1, 0)] `, हों तो सत्यापित कीजिए: A(B + C) = AB + AC.
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यदि A = `[(1, 2),(-1, 3)]`, B = `[(4, 0),(1, 5)]`, C = `[(2, 0),(1, -2)]` तथा a = 4, b = –2 हों तो दिखाइए कि a(C – A) = aC – aA
यदि A = `[(costheta, sintheta),(-sintheta, costheta)]` तो दिखाइए कि A2 = `[(cos2theta, sin2theta),(-sin2theta, cos2theta)]`
यदि A = `[(0, -x),(x, 0)]`, B = `[(0, 1),(1, 0)]` और x2 = –1 हो तो दिखाइए कि (A + B)2 = A2 + B2.
प्रारंभिक पंक्ति संक्रियाओं से निम्नलिखित आव्यूह का व्युत्क्रम (यदि संभव हो तो) ज्ञात कीजिए:
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यदि A तथा B समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं और B एक विषम सममित आव्यूह है तो दिखाइए कि A′BA एक विषम सममित आव्यूह है।
यदि किन्ही दो वर्ग आव्यूहों के लिए AB = BA हो तो गणितीय आगम से सिद्ध कीजिए कि (AB)n = AnBn
यदि संभव हो तो प्रांरभिक पंक्ति संक्रियाओं के प्रयोग से निम्मलिखित आव्यूह का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।
`[(2, -1, 3),(-5, 3, 1),(-3, 2, 3)]`
किसी आव्यूह का ऋण आव्यूह इसको ______ से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
यदि A और B समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं तो (AB)′ = ______
यदि A और B समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं तो (kA)′ = ______ (k कोई अदिश है।)
असमान कोटि वाले आव्यूहों को घटाया नहीं जा सकता है।
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