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प्रश्न
यदि P(x) = `[(cosx, sinx),(-sinx, cosx)]`, हो तो दिखाइए कि P(x) . (y) = P(x + y) = P(y) . P(x)
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उत्तर
हमारे पास, P(x) = `[(cosx, six),(-sinx, cosx)]`
∴ P(y) = `[(cosy, siny),(-siny, cosy)]`
अब,
P(x) . P(y) = `[(cosx, sinx),(-sinx, cosx)] [(cosy, siny),(-siny, cosy)]`
= `[(cosx * cosy - sinx * siny, cosx * siny + sinx * cosy),(-sinx * cosy - cosx * siny, -sinx * siny + cosx * cosy)]`
= `[(cos(x + y), sin(x + y)),(-sin(x + y), cos(x + y))]`
= P(x + y) ......(i)
भी,
P(y) . P(x) = `[(cosy, siny),(-siny, cos y)] [(cosx, sinx),(-sinx, cosx)]`
= `[(cosy * cosx - siny * sinx, cosy * sinx + siny * cosx),(-siny * cosx - sinx * cosy, -siny * sinx + cosy * cosx)]`
= `[(cos(x + y), sin(x + y)),(-sin(x + y), cos(x + y))]` .....(ii)
इस प्रकार, (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं
P(x) . (y) = P(x + y) = P(y) . P(x)
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आव्यूह A को एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए जहाँ A = `[(2, 4, -6),(7, 3, 5),(1, -2, 4)]` है।
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सिद्ध कीजिए कि किसी भी आव्यूह A के लिए A′A तथा AA′ दोनों ही सममित आव्यूह हैं।
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यदि A = `[(1, 2),(-1, 3)]`, B = `[(4, 0),(1, 5)]`, C = `[(2, 0),(1, -2)]` तथा a = 4, b = –2 हों तो दिखाइए कि (bA)T = bAT
यदि A = `[(0, -x),(x, 0)]`, B = `[(0, 1),(1, 0)]` और x2 = –1 हो तो दिखाइए कि (A + B)2 = A2 + B2.
प्रारंभिक पंक्ति संक्रियाओं से निम्नलिखित आव्यूह का व्युत्क्रम (यदि संभव हो तो) ज्ञात कीजिए:
`[(1, 3),(-5, 7)]`
यदि `3[("a", "b"),("c", "d")] = [("a", 6),(-1, 2"d")] + [(4, "a" + "b"),("c" + "d", 3)]` हो तो a, b, c और d के मान ज्ञात कीजिए।
यदि A = `[(1, 2),(4, 1)]` हो तो A2 + 2A + 7I ज्ञात कीजिए।
यदि `[(0, "a", 3),(2, "b", -1),("c", 1, 0)]` एक विषम सममित आव्यूह हो तो a, b और c के मान ज्ञात कीजिए।
यदि आव्यूह A = [aij]2×2 इस प्रकार है कि aij `[:( 1 "यदि i" ≠ "j" ),( 0 "यदि i" ≠ "j" ):]` तब A2 बराबर है।
आव्यूह `[(0, -5, 8),(5, 0, 12),(-8, -12, 0)]`
यदि A इस प्रकार कौ आव्यूह है कि A2 = I, तब (A – I)3 + (A + I)3 –7A बराबर होगा।
यदि A एक विषम सममित आव्यूह है तो A2 एक ______ है।
यदि A और B समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं तो (kA)′ = ______ (k कोई अदिश है।)
यदि A और B समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं तो [k (A – B)]′ = ______
यदि A और B दो समान कोटि के आव्यूह हैं तब A + B = B + A होता है।
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