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Question
यदि रेखाएँ y = 3x + 1 और 2y = x + 3, रेखा y = mx + 4, पर समान रूप से आनत हों तो m का मान ज्ञात कीजिए।
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Solution
रेखा AB का समीकरण, y = 3x + 1 की ढाल = 3
रेखा BC का समीकरण, y = mx + 4 को ढाल = m
यदि इनके बीच में θ कोण हो, तो
`tan θ = ("m" - 3)/(1 + 3"m")` ........(i)
रेखा AC का समीकरण, 2y = x + 3
या y = `1/2 "x" + 3/2`
AC की ढाल = `1/2`
जब AB और AC के बीच कोण θ हो, तब
`tan θ = ± ("m" - 1/2)/(1/2"m") = ±(2"m" - 1)/(2 + "m")` .......(ii)
समीकरण (i) और समीकरण (ii) से,
`("m" - 3)/(1 + 3"m") = ± (2"m" - 1)/(2 + "m")`
+ve चिन्ह लेकर, `("m" - 3)/(1 + 3"m") = ± (2"m" - 1)/(2 + "m")`
∴ (2m − 1)(3m + 1) = (m + 2)(m − 3)
या 6m2 − m − 1 = m2 − m − 6
∴ m2 = −1 मान्य नहीं है।
-ve चिन्ह लेकर, `("m" - 3)/(1 + 3"m") = -(2"m" - 1)/(2 + "m")`
(3m + 1)(2m − 1) + (m + 3)(m + 2) = 0
या (6m2 − m − 1) + (m2 − m − 6) = 0
या 7m2 − 2m − 7 = 0
∴ m = `(2 ± sqrt(4 + 4 xx 49))/14`
= `(2 ± sqrt(200))/14`
= `(2 ± 10sqrt2)/14`
= `(1 ± 5sqrt2)/7`
अतः m का अभीष्ट मान = `(1 ± 5sqrt2)/7`.
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