Question

यदि रेखाएँ y = 3x + 1 और 2y = x + 3, रेखा y = mx + 4, पर समान रूप से आनत हों तो m का मान ज्ञात कीजिए।

Answer 1

रेखा AB का समीकरण, y = 3x + 1 की ढाल = 3

रेखा BC का समीकरण, y = mx + 4 को ढाल = m

यदि इनके बीच में θ कोण हो, तो

`tan θ = ("m" - 3)/(1 + 3"m")`       ........(i)

रेखा AC का समीकरण, 2y = x + 3

या y = `1/2 "x" + 3/2`

AC की ढाल = `1/2`

जब AB और AC के बीच कोण θ हो, तब

`tan θ = ± ("m" - 1/2)/(1/2"m") = ±(2"m" - 1)/(2 + "m")`        .......(ii)

समीकरण (i) और समीकरण (ii) से,

`("m" - 3)/(1 + 3"m") = ± (2"m" - 1)/(2 + "m")`

+ve चिन्ह लेकर, `("m" - 3)/(1 + 3"m") = ± (2"m" - 1)/(2 + "m")`

∴ (2m − 1)(3m + 1) = (m + 2)(m − 3)

या  6m² − m − 1 = m² − m − 6

∴ m² = −1 मान्य नहीं है।

-ve चिन्ह लेकर, `("m" - 3)/(1 + 3"m") = -(2"m" - 1)/(2 + "m")`

(3m + 1)(2m − 1) + (m + 3)(m + 2) = 0

या (6m² − m − 1) + (m² − m − 6) = 0

या 7m² − 2m − 7 = 0

∴ m = `(2 ± sqrt(4 + 4 xx 49))/14`

= `(2 ± sqrt(200))/14`

= `(2 ± 10sqrt2)/14`

= `(1 ± 5sqrt2)/7`

अतः m का अभीष्ट मान = `(1 ± 5sqrt2)/7`.