Question

समांतर ABCD में, ∠A का समद्विभाजक BC को समद्विभाजित करता है। क्या कोण B का समद्विभाजक AD को भी समद्विभाजित करता है? कारण दीजिए।

Answer 1

दिया गया है, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, जो ∠A का समद्विभाजक है, BC को F पर समद्विभाजित करता है, अर्थात ∠1 = ∠2, CF = FB।

खींचना FE || BA

रचना द्वारा ABFE एक समांतर चतुर्भुज है।  ...[∵ FE || BA]

⇒ ∠1 = ∠6   ...[वैकल्पिक कोण]

लेकिन ∠1 = ∠2  ...[दिया गया है।]

∴ ∠2 = ∠6

AB = FB   [समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।] ...(i)

∴ ABFE एक समचतुर्भुज है।

अब, ΔABO और ΔBOF में,

AB = BF  ...[समीकरण (i) से]

BO = BO   ...[सामान्य]

AO = FO  ...[समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।]

∴ ΔABO ≅ ΔBOF   ...[SSS द्वारा]

∠3 = ∠4   ...[CPCT द्वारा]

अब, BF = `1/2` BC  ...[दिया गया है।]

⇒ BF = `1/2` AD   ...[BC = AD]

⇒ AE = `1/2` AD   ...[BF = AE]

∴ E, AD का मध्यबिंदु है।