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प्रश्न
समांतर ABCD में, ∠A का समद्विभाजक BC को समद्विभाजित करता है। क्या कोण B का समद्विभाजक AD को भी समद्विभाजित करता है? कारण दीजिए।
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उत्तर
दिया गया है, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, जो ∠A का समद्विभाजक है, BC को F पर समद्विभाजित करता है, अर्थात ∠1 = ∠2, CF = FB।
खींचना FE || BA
रचना द्वारा ABFE एक समांतर चतुर्भुज है। ...[∵ FE || BA]
⇒ ∠1 = ∠6 ...[वैकल्पिक कोण]
लेकिन ∠1 = ∠2 ...[दिया गया है।]
∴ ∠2 = ∠6
AB = FB [समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।] ...(i)
∴ ABFE एक समचतुर्भुज है।
अब, ΔABO और ΔBOF में,
AB = BF ...[समीकरण (i) से]
BO = BO ...[सामान्य]
AO = FO ...[समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।]
∴ ΔABO ≅ ΔBOF ...[SSS द्वारा]
∠3 = ∠4 ...[CPCT द्वारा]
अब, BF = `1/2` BC ...[दिया गया है।]
⇒ BF = `1/2` AD ...[BC = AD]
⇒ AE = `1/2` AD ...[BF = AE]
∴ E, AD का मध्यबिंदु है।
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