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Question
प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में एक संबंध R निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित कीजिए:
∀ n, m ∈ N, nRm यदि n तथा में से प्रत्येक संख्या को 5 से विभाजित करने पर शेषफल 5 से कम बचता है, अर्थात, 0, 1, 2, 3 तथा 4 में से कोई एक संख्या। सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है। साथ ही R द्वारा निर्धारित युगलत: असयुंक्त उप-समुच्चयों को भी ज्ञात कीजिए।
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Solution
R स्वतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक a ∈ N के लिए aRa, R सममित है, क्योंकि a, b, ∈ N के लिए यदि aRb, तथा bRa = 54±, साथ ही, R संक्रामक है, क्योंकि a, b, c ∈ N के लिए यदि aRb तथा aRc तो aRc अत: R, N में एक तुल्यता संबंध है, जो समुच्चय N का युगलत: असयुंक्त उप-समुच्चयों में विभाजन (partition) कर देता है। इस विभाजन से प्राप्त तुल्यता-वर्ग निचे उल्लिखित हैं:
A0 = {5, 10, 15, 20 ...}
A1 = {1, 6, 11, 16, 21 ...}
A2 = {2, 7, 12, 17, 22, ...}
A3 = {3, 8, 13, 18, 23, ...}
A4 = {4, 9, 14, 19, 24, ...}
यह सुस्पष्ट है कि उपर्युक्त पाँच समुच्च्य युगलत: असयुंक्त हैं तथा
A0 ∪ A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 = `∪_("i" = 0)^4 "A"_"i"` = N.
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