Question

सिद्ध कीजिए कि f(x) = `x/(x^2 + 1)`, ∀ ∈ + R, द्वारा परिभाषित फलन f : R → R न तो एकैकी है और न आच्छादी है।

Answer 1

x₁ , x₂ ∈ R, के लिए विचार कीजिए कि

f(x₁) = f(x₂)

⇒ `x_1/(x_1^2 + 1) = x_2/(x_2^2 + 1)`

⇒ `x_1  x_2^2 + x_1 = x_2  x_1^2 + x_2`

⇒ x₁ x₂ (x₂ – x₁) = x₂ – x₁

⇒ x₁ = x₂ या x₁ x₂ = 1

हम देखते है कि x₁ तथा x₂ ऐसे अवयव हो सकते हैं कि x₁ ≠ x₂ फिर भी f(x₁) = f(x₂)_,

उदाहरणार्थ हम x₁ = 2 तथा x₂ = `1/2` लेते हैं, तो f (x₁) = `2/5` तथा f (x₂) = `2/5`  परंतु  `2 ≠ 1/2` अत: f एकैकी नहीं है। साथ ही, f आच्छादी भी नहीं है क्योंकि, यदि ऐसा है, तो 1 ∈ R के लिए, ∃ x ∈ R 

इस प्रकार कि f (x) = 1, जिससे `x/(x^2 + 1)` = 1 प्राप्त होता है। परंतु प्रांत R में ऐसा कोई अवयव नहीं है क्योंकि समीकरण x² – x + 1 = 0, x का कोई वास्तविक मान नहीं देता है।