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Question
सिद्ध कीजिए कि f(x) = `x/(x^2 + 1)`, ∀ ∈ + R, द्वारा परिभाषित फलन f : R → R न तो एकैकी है और न आच्छादी है।
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Solution
x1 , x2 ∈ R, के लिए विचार कीजिए कि
f(x1) = f(x2)
⇒ `x_1/(x_1^2 + 1) = x_2/(x_2^2 + 1)`
⇒ `x_1 x_2^2 + x_1 = x_2 x_1^2 + x_2`
⇒ x1 x2 (x2 – x1) = x2 – x1
⇒ x1 = x2 या x1 x2 = 1
हम देखते है कि x1 तथा x2 ऐसे अवयव हो सकते हैं कि x1 ≠ x2 फिर भी f(x1) = f(x2),
उदाहरणार्थ हम x1 = 2 तथा x2 = `1/2` लेते हैं, तो f (x1) = `2/5` तथा f (x2) = `2/5` परंतु `2 ≠ 1/2` अत: f एकैकी नहीं है। साथ ही, f आच्छादी भी नहीं है क्योंकि, यदि ऐसा है, तो 1 ∈ R के लिए, ∃ x ∈ R
इस प्रकार कि f (x) = 1, जिससे `x/(x^2 + 1)` = 1 प्राप्त होता है। परंतु प्रांत R में ऐसा कोई अवयव नहीं है क्योंकि समीकरण x2 – x + 1 = 0, x का कोई वास्तविक मान नहीं देता है।
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