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Question
सिद्ध कीजिए कि f(x) = `x/(x^2 + 1)`, ∀ ∈ + R, द्वारा परिभाषित फलन f : R → R न तो एकैकी है और न आच्छादी है।
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Solution
x1 , x2 ∈ R, के लिए विचार कीजिए कि
f(x1) = f(x2)
⇒ `x_1/(x_1^2 + 1) = x_2/(x_2^2 + 1)`
⇒ `x_1 x_2^2 + x_1 = x_2 x_1^2 + x_2`
⇒ x1 x2 (x2 – x1) = x2 – x1
⇒ x1 = x2 या x1 x2 = 1
हम देखते है कि x1 तथा x2 ऐसे अवयव हो सकते हैं कि x1 ≠ x2 फिर भी f(x1) = f(x2),
उदाहरणार्थ हम x1 = 2 तथा x2 = `1/2` लेते हैं, तो f (x1) = `2/5` तथा f (x2) = `2/5` परंतु `2 ≠ 1/2` अत: f एकैकी नहीं है। साथ ही, f आच्छादी भी नहीं है क्योंकि, यदि ऐसा है, तो 1 ∈ R के लिए, ∃ x ∈ R
इस प्रकार कि f (x) = 1, जिससे `x/(x^2 + 1)` = 1 प्राप्त होता है। परंतु प्रांत R में ऐसा कोई अवयव नहीं है क्योंकि समीकरण x2 – x + 1 = 0, x का कोई वास्तविक मान नहीं देता है।
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मान लीजिए कि f: R → R फलन f(x) = 2x – 3 ∀ x ∈ R द्वारा परिभाषित है। f–1 लिखिए।
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क्या क्रमित युग्मों का निम्लिखित समुच्चय, फलन हैं? यदि ऐसा है, तो जाँच कीजिए कि प्रतिचित्रण एकैक अथवा आच्छादि हैं कि नहीं हैं।
{(a, b): a एक व्यक्ति है, b पूर्वज है a का}
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यदि A = {1, 2, 3, 4}, तो A में निम्लिखित गुण वाले संबंध को परिभाषित कीजिए:
स्वतुल्य तथा संक्रामक हों किंतु सममित नहीं हों।
यदि A = {1, 2, 3, 4}, तो A में निम्लिखित गुण वाले संबंध को परिभाषित कीजिए:
स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हों।
दिया हुआ है कि A = {2, 3, 4}, B = {2, 5, 6, 7}। निम्नलिखित में से उदाहरण की रचना कीजिए :
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दिया हुआ है कि A = {2, 3, 4}, B = {2, 5, 6, 7}। निम्नलिखित में से उदाहरण की रचना कीजिए :
A से B में एक ऐसा प्रतिचित्रण, जो एकैक नहीं है।
दिया हुआ है कि A = {2, 3, 4}, B = {2, 5, 6, 7}। निम्नलिखित में से उदाहरण की रचना कीजिए :
B से A में एक प्रतिचित्रण।
मान लीजिए A = [-1, 1]। तो विचार कीजिए कि क्या A में परिभाषित निम्नलिखित फलन एकैकी, आच्छादक या एकैकी आच्छादी हैं:
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मान लीजिए A = [-1, 1]। तो विचार कीजिए कि क्या A में परिभाषित निम्नलिखित फलनएकैकी, आच्छादक या एकैकी आच्छादी हैं:
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