Question

दर्शाइए कि उस AP का योग, जिसका प्रथम पद a, द्वितीय पद b और अंतिम पद c हो, `((a + c)(b + c - 2a))/(2(b - a))` के बराबर है।

Answer 1

दिया गया है कि, AP a, b, c है।

यहाँ, पहला पद = a,

सामान्य अंतर = b – a

और अंतिम पद, l = a_n = c

∵ a_n = l = a + (n – 1 )d

⇒ c = a + (n – 1)(b – a)

⇒ (n – 1) = `(c - a)/(b - a)`

n = `(c - a)/(b - a) + 1`

⇒ n = `(c - a + b - a)/(b - a)`

= `(c + b - 2a)/(b - a)`  ...(i)

∴ एक AP का योग,

S_n = `n/2[2a + (n - 1)d]`

= `((b + c - 2a))/(2(b - a))[2a + {(b + c - 2a)/(b - a) - 1}(b - a)]`

= `((b + c - 2a))/(2(b - a))[2a + (c - a)/(b - a) * (b - a)]`

= `((b + c - 2a))/(2(b - a))(2a + c - a)`

= `((b + c - 2a))/(2(b - a)) * (a + c)`

अतः सिद्ध हुआ।