Question

किसी AP के 11 वें पद का 18 वे पद से अनुपात 2 : 3 है। 5 वें पद का 21 वें पद से अनुपात ज्ञात कीजिए तथा साथ ही प्रथम पाँच पदों के योग का प्रथम 21 पदों के योग से अनुपात ज्ञात कीजिए।

Answer 1

मान लीजिए कि a और d क्रमशः AP का पहला पद और सामान्य अंतर हैं।

दिया गया है, a₁₁ : a₁₈ = 2 : 3

⇒ `(a + 10d)/(a + 17d) = 2/3`

⇒ 3a + 30d = 2a + 34d

⇒ a = 4d    ...(i)

अब, a₅ = a + 4d

= 4d + 4d

= 8d   ...[समीकरण (i) से]

और a₂₁ = a + 20d

= 4d + 20d

= 24d    ...[समीकरण (i) से]

∴ a₅ : a₂₁ = 8d : 24d = 1 : 3

अब, पहले पाँच पदों का योग,

S₅ = `5/2[2a + (5 - 1)d]     ...[∵ S_n = n/2 [2a + (n - 1)d]]`

= `5/2[2(4d) + 4d]`     ...[समीकरण (i) से]

= `5/4(8d + 4d)`

= `5/2 xx 12d`

= 30d

और पहले 21 पदों का योग,

S₂₁ = `21/2[2a + (21 - 1)d]`

= `21/2[2(4"d") + 20"d"]`   ...[समीकरण (i) से]

= `21/2(28"d")`

= 294d

S₅ : S₂₁ = 30d : 29d = 5:49

इसलिए, पहले पाँच पदों के योग का पहले 21 पदों के योग से अनुपात 5: 49 है।