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प्रश्न
किसी AP के 11 वें पद का 18 वे पद से अनुपात 2 : 3 है। 5 वें पद का 21 वें पद से अनुपात ज्ञात कीजिए तथा साथ ही प्रथम पाँच पदों के योग का प्रथम 21 पदों के योग से अनुपात ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
मान लीजिए कि a और d क्रमशः AP का पहला पद और सामान्य अंतर हैं।
दिया गया है, a11 : a18 = 2 : 3
⇒ `(a + 10d)/(a + 17d) = 2/3`
⇒ 3a + 30d = 2a + 34d
⇒ a = 4d ...(i)
अब, a5 = a + 4d
= 4d + 4d
= 8d ...[समीकरण (i) से]
और a21 = a + 20d
= 4d + 20d
= 24d ...[समीकरण (i) से]
∴ a5 : a21 = 8d : 24d = 1 : 3
अब, पहले पाँच पदों का योग,
S5 = `5/2[2a + (5 - 1)d] ...[∵ S_n = n/2 [2a + (n - 1)d]]`
= `5/2[2(4d) + 4d]` ...[समीकरण (i) से]
= `5/4(8d + 4d)`
= `5/2 xx 12d`
= 30d
और पहले 21 पदों का योग,
S21 = `21/2[2a + (21 - 1)d]`
= `21/2[2(4"d") + 20"d"]` ...[समीकरण (i) से]
= `21/2(28"d")`
= 294d
S5 : S21 = 30d : 29d = 5:49
इसलिए, पहले पाँच पदों के योग का पहले 21 पदों के योग से अनुपात 5: 49 है।
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