Advertisements
Advertisements
Question
समीकरण – 4 + (−1) + 2 + ... + x = 437 को हल कीजिए।
Advertisements
Solution
दिया गया समीकरण है,
– 4 + (–1) + 2 + ... + x = 437 ...(i)
यहाँ, – 4 – 1 + 2 + ... + x पहले पद = – 4 के साथ एक एपी बनाता है,
सामान्य अंतर = – 1 – (– 4) = 3,
an = l = x
∵ किसी AP का n वाँ पद,
an = l = a + (n – 1)d
⇒ x = – 4 + (n – 1)3 ...(ii)
⇒ `(x + 4)/3` = n – 1
⇒ n = `(x + 7)/3`
∴ एक AP का योग,
Sn = `n/2[2a + (n - 1)d]`
Sn = `(x + 7)/(2 xx 3)[2(-4) + ((x + 4)/3) * 3]`
= `(x + 7)/(2 xx 3)(-8 + x + 4)`
= `((x + 7)(x - 4))/(2 xx 3)`
समीकरण (i) से,
Sn = 437
⇒ `((x + 7)(x - 4))/(2 xx 3)` = 437
⇒ x2 + 7x – 4x – 28 = 874 × 3
⇒ x2 + 3x – 2650 = 0
x = `(-3 +- sqrt((3)^2 - 4(-2650)))/2` ...[द्विघात सूत्र द्वारा]
= `(-3 +- sqrt(9 + 10600))/2`
= `(-3 +- sqrt(10609))/2`
= `(-3 +- 103)/2`
= `100/2, (-106)/2`
= 50, – 53
यहाँ, x ऋणात्मक नहीं हो सकता अर्थात x ≠ – 53
साथ ही x = – 53 के लिए n ऋणात्मक होगा जो संभव नहीं है।
अत:, x का अभीष्ट मान 50 है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ी का योग ज्ञात कीजिए:
2, 7, 12, ......,10 पदों तक
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है : सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 18 लट्ठे, इत्यादि (देखिए आकृति)। ये 200 लठ्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?
एक आलू दौड़ (potato race) में, प्रारंभिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5m की दूरी पर है, तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं (देखिए आकृति)।
प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारंभ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है, और वह ऐसा तब तक करती रहती है, जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?
[संकेत: पहले और दूसरे आलुओं को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी = 2 × 5 + 2 × (5 + 3) है।]
प्रथम 100 प्राकृत संख्याओं के योग को ज्ञात करने से संबद्ध प्रसिद्ध गणितज्ञ ______ है।
AP: –2, –7, –12,... का कौन-सा पद –77 है? पद –77 तक इस AP का योग ज्ञात कीजिए।
यदि Sn किसी AP के प्रथम n पदों का योग व्यक्त करता है, तो सिद्ध कीजिए कि S12 = 3(S8 – S4) है।
उस AP के प्रथम 17 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके चौथे और 9 वें पद क्रमशः –15 और –30 हैं।
ऐसी प्रथम सात संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए, जो 2 का गुणज हैं और 9 का भी गुणज हैं।
[संकेत : 2 और 9 का LCM ज्ञात कीजिए।]
दर्शाइए कि उस AP का योग, जिसका प्रथम पद a, द्वितीय पद b और अंतिम पद c हो, `((a + c)(b + c - 2a))/(2(b - a))` के बराबर है।
