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Question
समीकरण – 4 + (−1) + 2 + ... + x = 437 को हल कीजिए।
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Solution
दिया गया समीकरण है,
– 4 + (–1) + 2 + ... + x = 437 ...(i)
यहाँ, – 4 – 1 + 2 + ... + x पहले पद = – 4 के साथ एक एपी बनाता है,
सामान्य अंतर = – 1 – (– 4) = 3,
an = l = x
∵ किसी AP का n वाँ पद,
an = l = a + (n – 1)d
⇒ x = – 4 + (n – 1)3 ...(ii)
⇒ `(x + 4)/3` = n – 1
⇒ n = `(x + 7)/3`
∴ एक AP का योग,
Sn = `n/2[2a + (n - 1)d]`
Sn = `(x + 7)/(2 xx 3)[2(-4) + ((x + 4)/3) * 3]`
= `(x + 7)/(2 xx 3)(-8 + x + 4)`
= `((x + 7)(x - 4))/(2 xx 3)`
समीकरण (i) से,
Sn = 437
⇒ `((x + 7)(x - 4))/(2 xx 3)` = 437
⇒ x2 + 7x – 4x – 28 = 874 × 3
⇒ x2 + 3x – 2650 = 0
x = `(-3 +- sqrt((3)^2 - 4(-2650)))/2` ...[द्विघात सूत्र द्वारा]
= `(-3 +- sqrt(9 + 10600))/2`
= `(-3 +- sqrt(10609))/2`
= `(-3 +- 103)/2`
= `100/2, (-106)/2`
= 50, – 53
यहाँ, x ऋणात्मक नहीं हो सकता अर्थात x ≠ – 53
साथ ही x = – 53 के लिए n ऋणात्मक होगा जो संभव नहीं है।
अत:, x का अभीष्ट मान 50 है।
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