Question

समीकरण – 4 + (−1) + 2 + ... + x = 437 को हल कीजिए।

Answer 1

दिया गया समीकरण है,

– 4 + (–1) + 2 + ... + x = 437   ...(i)

यहाँ, – 4 – 1 + 2 + ... + x पहले पद = – 4 के साथ एक एपी बनाता है,

सामान्य अंतर = – 1 – (– 4) = 3,

a_n = l = x

∵ किसी AP का n वाँ पद,

a_n = l = a + (n – 1)d

⇒ x = – 4 + (n – 1)3   ...(ii)

⇒ `(x + 4)/3` = n – 1

⇒ n = `(x + 7)/3`

∴ एक AP का योग,

S_n = `n/2[2a + (n - 1)d]`

S_n = `(x + 7)/(2 xx 3)[2(-4) + ((x + 4)/3) * 3]`

= `(x + 7)/(2 xx 3)(-8 + x + 4)`

= `((x + 7)(x - 4))/(2 xx 3)`

समीकरण (i) से,

S_n = 437

⇒ `((x + 7)(x - 4))/(2 xx 3)` = 437

⇒ x² + 7x – 4x – 28 = 874 × 3

⇒ x² + 3x – 2650 = 0

x = `(-3 +- sqrt((3)^2 - 4(-2650)))/2`   ...[द्विघात सूत्र द्वारा]

= `(-3 +- sqrt(9 + 10600))/2`

= `(-3 +- sqrt(10609))/2`

= `(-3 +- 103)/2`

= `100/2, (-106)/2`

= 50, – 53

यहाँ, x ऋणात्मक नहीं हो सकता अर्थात x ≠ – 53

साथ ही x = – 53 के लिए n ऋणात्मक होगा जो संभव नहीं है।

अत:, x का अभीष्ट मान 50 है।