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प्रश्न
दर्शाइए कि उस AP का योग, जिसका प्रथम पद a, द्वितीय पद b और अंतिम पद c हो, `((a + c)(b + c - 2a))/(2(b - a))` के बराबर है।
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उत्तर
दिया गया है कि, AP a, b, c है।
यहाँ, पहला पद = a,
सामान्य अंतर = b – a
और अंतिम पद, l = an = c
∵ an = l = a + (n – 1 )d
⇒ c = a + (n – 1)(b – a)
⇒ (n – 1) = `(c - a)/(b - a)`
n = `(c - a)/(b - a) + 1`
⇒ n = `(c - a + b - a)/(b - a)`
= `(c + b - 2a)/(b - a)` ...(i)
∴ एक AP का योग,
Sn = `n/2[2a + (n - 1)d]`
= `((b + c - 2a))/(2(b - a))[2a + {(b + c - 2a)/(b - a) - 1}(b - a)]`
= `((b + c - 2a))/(2(b - a))[2a + (c - a)/(b - a) * (b - a)]`
= `((b + c - 2a))/(2(b - a))(2a + c - a)`
= `((b + c - 2a))/(2(b - a)) * (a + c)`
अतः सिद्ध हुआ।
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