Mathematics and Statistics [गणित आणि सांख्यिकी] Official 2024-2025 HSC Science (Marathi Medium) 12th Standard Board Exam [इयत्ता १२ वी] Question Paper Solution

जर A = {1, 2, 3, 4, 5} असेल तर खालील कोणते विधान सत्य नाही?

∃ x ∈ A की जेथे x + 3 = 8

∃ x ∈ A की जेथे x + 2 < 9

∀ x ∈ A, x + 6 ≥ 9

∃ x ∈ A की जेथे x + 6 < 10

ΔABC मध्ये, (a + b) cos C + (b + c) cos A + (c + a) cos B = ______.

a − b + c

a + b − c

a + b + c

a − b − c

If `|bar a|` = 5, `|bar b|` = 13 and `|bara xx barb|` = 25 then `|bar a * bar b|` is equal to ______.

30

60

40

45

जर बिंदूचा स्थान सदिश (position vector) `4hati-hatj+2hatk` असेल व यामधून जाणारी रेषा `-2hati-hatj+hatk` या सदिश राशीला समांतर असेल तर त्या रेषेचे सदिश समीकरण (vector equation) = ______.

`(4hat i - hat j - 2hat k) + lambda (-2hat i - hat j + hat k)`

`(4hat i - hat j + 2hat k) + lambda (2hat i - hat j + hat k)`

`(4hat i - hat j + 2hat k) + lambda (-2hat i - hat j - hat k)`

`(4hat i - hat j + 2hat k) + lambda (-2hat i - hat j + hat k)`

समजा f(1) = 3, f'(1) = `-1/3`, g(1) = −4 आणि g'(1) = `-8/3` असेल तर `sqrt([f(x)]^2 + [g(x)]^2` x ला अनुलक्षुन विकलन (derivative) हा x = 1 ला ______.

`-29/25`

`7/3`

`31/15`

`29/15`

जर द्‌विपाद वितरणामध्ये (bonominal distribution) मध्य (mean)आणि विचरण (variance) हे अनुक्रमे १८ व १२ असतील तर ______.

36

54

18

27

`intx^x (1 + logx)dx=` ______.

`1/2(1 + logx)^2 + c`

x^2x + c

x^x.logx + c

x^x + c

रेषा y = x, X-अक्ष व रेषा x = –1 व x = 4 यांनी व्यापलेल्या भागाचे क्षेत्रफल चौ. एकका मध्ये = ______.

`2/17`

8

`17/2`

`1/2`

∃ n ∈ N या विधानाचे नकारात्मक (negation) विधान लिहा असे की n + 8 > 11.

`baru=8hati+3hatj-hatk` विरुद्ध (opposite) एकक सदिश (unit vector) लिहा.

`sqrt(1+(dy/dx)^2)=((d^2y)/dx^2)^(3/2)` या विकलनीय समीकरणा (differential equation) चा क्रम (order) लिहा.

फलन f(x), सर्व x ∈ R ला सक्तीने वाढण्यासाठीची (strictly increasing) अट (condition) लिहा.

सत्यता सारणी (truth-table) वापरून p ↔ q आणि (p ∧ q) ∨ (∼ p ∧ ∼ q) ही विधान नमुने (statement pattern) हे तार्किक दृष्ट्या समतुल्य (logically equivalent) आहेत असे दाखवा.

`[(2,-2),(4,3)]` या सारणीचा संलग्न सारणी (adjoint matrix) काढा.

tan²θ = 1 या समीकरणाची सर्वसामान्य उकल (general solution) काढा.

x² – y² – 2x + 1 = 0 ने दर्शविलेल्या रेषांचा छेदन बिंदूचा निर्देशांक (point of intersection) काढा.

एक रेषा Y व Z-अक्षाशी धन दिशेला अनुक्रमे 45° व 60° कोन करते तर ती रेषा X-अक्षाशी धन दिशेला किती अंशाचा कोन करेल हे काढा.

बिंदू `2hati+3hatj+4hatk` मधून जाणाऱ्या व सदिश (vector) `2hati+hatj-2hatk` ला लंब (perpendicular) असणाऱ्या प्रतलाचे (plane) सदिश समीकरण (vector) काढा.

संख्या २० चे असे दोन भाग करा की त्यांच्या वर्गांची बेरीज न्यूनतम (minimum) राहील.

सोडवा: `intx^9 . sec^2 (x^10) dx`

सोडवा: `int (1)/(25 - 9x^2)*dx`

सोडवा: `int_(-pi/4)^(pi/4) (1)/(1 - sinx)*dx`

परवलय y² = 16x आणि त्याची नाभिलंब लॅटस्‌ रेक्टम (latus rectum) यांनी व्यापलेल्या भागाचे क्षेत्रफल काढा.

एका बस करिता जर X ला मिनिटांमध्ये प्रतीक्षा वेळ (waiting time) मानले असता जिचे संभाव्यता वितरण फलन (probability distribution function) खालील प्रमाणे असल्यास

f(x) = `1/5`; for 0 ≤ x ≤ 5 

= 0 अन्यथा, तर

एक आणि तीन मिनिट दरम्यानचा प्रतीक्षा वेळ

एका बस करिता जर X ला मिनिटांमध्ये प्रतीक्षा वेळ (waiting time) मानले असता जिचे संभाव्यता वितरण फलन (probability distribution function) खालील प्रमाणे असल्यास

f(x) = `1/5`; for 0 ≤ x ≤ 5 

= 0 अन्यथा, तर

४ पेक्षा जास्त मिनिटांचा प्रतीक्षा वेळ यांची संभाव्यता (probability) काढा.

खालील दिलेल्या विद्युत परिपथ (switching circuit) चिन्हांकित स्वरूपात (symbolic form) लिहा व त्याची विद्युत सारणी (switching table) तयार करा व अर्थ स्पष्ट करा:

सिद्ध करा: `2 tan^(-1) (1/3) + cos^(-1) (3/5) = pi/2`.

ΔABC मध्ये जर a = 13, b = 14, c = 15, तर sec A ची किंमत काढा.

ΔABC मध्ये जर a = 13, b = 14, c = 15, तर `"cosec" A/2` ची किंमत काढा.

एक रेषा बिंदू (6, –7, –1) आणि (2, –3, 1) मधून जात असेल तर त्या रेषेचे दिक्‌ कोज्या व दिशा गुणोत्तरे (direction cosines and direction ratios) काढा. हे ही दाखवा की ती रेषा प्रारंभिक बिंदू (मूळ) (origin) मधून जात नाही.

जर रेषा बिंदू (1, 2, –1) मधून जात असेल जिचे दिशा गुणोत्तर (direction ratios) 2, 3, 7 असतील  तर त्या रेषेचे कार्तेशियन व सदिश समीकरण (cartesian and vector equation) काढा.

जर प्रतल बिंदू A(1, 1, 2), B (0, 2, 3) आणि C (4, 5, 6) मधून जात असल्यास त्या प्रतलाचे सदिश समीकरण (vector equation) काढा. 

Log x चे n^th विकलन (derivative) काढा.

एक बिंदूचे (particle) t वेळा मधील विस्थापन s = 2t³ − 5t² + 4t − 3 तर त्वरण (acceleration) 14ft/sec² असल्यास वेळ (time), गती (velocity) आणि विस्थापन (displacement) काढा.

वक्र y = 2x³ – x² + 2 च्या बिंदू `(1/2,2)` मधून जाणाऱ्या स्पर्शिकेचे (tangent) व साधारण (normal) समीकरण लिहा.

तीन नाणी एकाच वेळी फेकली असता, जर X छापा (head) दर्शवत असेल तर त्या X चे अपेक्षित मूल्य (expected value) व विश्लेषण (variance) काढा.

`x dy/dx = x·tan(y/x)+y` हे विकलनीय समीकरण (differential equation) सोडवा.

५२ पत्ते पिसलेल्या कॅटमधून प्रत्येक पत्ता निवडून परत कॅटमध्ये टाकून (with replacement) ५ पत्ते (cards) यशस्वीरित्या निवडले असतील तर संभाव्यता शोधा की सर्व ५ पत्ते (cards) इस्पिक (spade) आहेत.

५२ पत्ते पिसलेल्या कॅटमधून प्रत्येक पत्ता निवडून परत कॅटमध्ये टाकून (with replacement) ५ पत्ते (cards) यशस्वीरित्या निवडले असतील तर संभाव्यता शोधा की त्यामधील एक ही पत्ता इस्पिक (spade) नाही.

प्राथमिक पंक्ती परिवर्तन (elementary row transformation) वापरून दिलेल्या सारणीचा `[("cos" theta, -"sin" theta, 0),("sin" theta, "cos" theta, 0),(0,0,1)]` व्यस्त (inverse) काढा.

जर x आणि y मधील दोन कोटी चे (degree 2) एक जिनसी (homogeneous) समीकरण जसे की ax² + 2hxy + by² = 0 हे नेहमीच मूळबिंदूतून जाणाऱ्या रेषांची जोडी दर्शविते असे सिद्ध करा जेव्हा h² − ab ≥ 0 तसेच दाखवा की x² + y² = 0 की हे समीकरण दोन रेषा दाखवत नाही. 

समजा `bara` आणि `barb` हे नैकरेषीय सदिश आहेत. (non-collinear vectors) सिद्ध करा की सदिश `barr` हा `bara` आणि `barb` सोबत एकप्रतलीय (coplanar) असतो तर आणि फक्त तर t₁ व t₂ असे एकमेव अदिश आहेत की `barr = t_1 bara + t_2 barb` यावरून जर `barr = 2hati + 7hatj + 9hatk, bara = hati + 2hatj, barb = hatj + 3hatk` ची किंमत काढा. 

खालील रेषीय प्रयोजनात्मक प्रश्‍न (linear programing problem) आलेखीय पद्धत वापरून सोडवा:

कमाल (maximize): z = 3x + 5y

अटी (subject to): x + 4y ≤ 24,

3x + y ≤ 21,

x + y ≤ 9,

x ≥ 0, y ≥ 0

आणि (z) ची कमाल (maximize) किंमत काढा.

जर x = f(t) आणि y = g(t) हे t चे विकलनीय फल (differentiable function) असेल आणि जेव्हा y हे x चे विकलनीय फल असेल आणि `(dx)/(dt)` ≠ 0 तर सिद्ध करा की:

`(dy)/(dx) = ((dy)/(dt))/((dx)/(d"))` आणि 7^x चे x⁷ अनुलक्षुन विकलन (derivative) काढा.

सोडवा: `inte^(sin-1) x ((x+sqrt(1-x^2))/(sqrt(1-x^2)))dx`

सिद्‌ध करा की: `int_a^b f(x) dx = int_a^b f(a + b - x)dx`  यावरून सोडवा

`int_0^3 sqrtx/(sqrtx + sqrt(3 - x)) dx`

जर खोलीचे तापमान 25°C असताना वस्तूचे तापमान 80°C पासून 50°C पर्यंत थंड होण्यास 30 मिनिटे लागतात त्या वस्तूचे तापमान १ तासानंतर किती होईल ते काढा.