Question

जर x = f(t) आणि y = g(t) हे t चे विकलनीय फल (differentiable function) असेल आणि जेव्हा y हे x चे विकलनीय फल असेल आणि `(dx)/(dt)` ≠ 0 तर सिद्ध करा की:

`(dy)/(dx) = ((dy)/(dt))/((dx)/(d"))` आणि 7^x चे x⁷ अनुलक्षुन विकलन (derivative) काढा.

Answer 1

`dy/dx = ((dy/dt)/(dx/dt))`

आपल्याला असे दिले आहे की x = f(t) आणि y = g(t) ही t ची अवकलनीय (differentiable) फलन आहेत; याचा अर्थ असा की, आपण t च्या माध्यमातून y ला x चे फलन म्हणून व्यक्त करू शकतो.

साखळी नियमानुसार (Chain Rule), x च्या संदर्भात y चे विकलन (derivative) खालीलप्रमाणे लिहिता येते:

`dy/dx = dy/dt xx dt/dx` 

`(dx)/(dt) ≠ 0` असल्याने, आपण त्याचा व्युत्क्रम (reciprocal) घेऊ शकतो:

`(dt)/(dx) = 1/((dx)/(dt))`

`(dy)/(dx) = (dy)/(dt) xx 1/((dx)/(dt)) = (dy/dt)/(dx/dt)`

`(dy)/(dx) = (dy/dt)/(dx/dt)`

∴ x⁷ च्या संदर्भात 7^x चे विकलन

`d/(du)(7^x)`, जिथे u = x⁷

साखळी नियमाचा वापर करून:

`d/(du)(7^x) = (d/dx(7^x))/(d/dx(x^7))`

घातांक फलनांच्या अवकलनाचे सूत्र वापरून:

∴ `(dy)/(du) = (7^x ln 7)/(7x^6)`

∴ `(dy)/(du) = (7^(x - 1) ln 7)/(x^6)`